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Esbozo de una filosofía zubiriana de la matemática

Guillerma Díaz Muñoz

De Actas del II Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la
Ciencia en España, ed. por Daniel Quesada y Anna Estany, (Bellaterra, 6-8 de febrero de 1997), p. 141-145.

La Matemática juega un papel crucial en el pensamiento de Zubiri y, sin embargo, esta cuestión constituye un "vacío" en la bibliografía y el estado actual de la investigación. Por una parte, la matemática determina la génesis y evolución de la Filosofía de Zubiri, y, por otra, ésta contiene una filosofía de la matemática: un nuevo constructivismo.

La ventaja de la filosofía de la matemática de Zubiri, que parte de la inteligencia sentiente o la formalidad de realidad, frente al resto de las filosofías de la matemática, que parten de la inteligencia concipiente o del contenido, es unir los términos que en ésta se muestran irreconciliables. Así la construcción matemática es "a una", pro indiviso: construcción en impresión, libertad en imposición, construcción en realidad, construcción en verdad, cumplimiento encontrando, creación descubriendo, lógica históricamente (y lo mismo en reciprocidad). Esta nueva conexión, no sintética sino intrínseca, marca un hito en la historia de la filosofía matemática.

1. Matemática y Filosofía

El joven Zubiri afirma "Así como la Filosofía moderna nació de a interpretación subjetivista y cosmológica de la Matemática, así la Filosofía contemporánea nace de una interpretación objetivista ideal de la Matemática. Una vez más se pone de relieve el interés filosófico de la matemática" (1923, 36). Y constata cómo os resultados matemáticos de finales del s. XIX y principios del s. XX determinan su interpretación objetivista-ideal de la matemática-se ocupa de "objetos ideales", parte de "evidencias apodícticas" y se desarrolla "a priori" por rigurosa vía deductiva-. Y ésta, a su vez, le lleva a una Filosofía de la Objetividad que la fundamente.

El Teorema de Gódel (1931), al probar que hay verdades matemáticas que se imponen, no obstante la imposibilidad de su demostración o refutación dentro de un sistema formal que incluya la aritmética, provoca, al menos en gran parte, el giro zubiriano del objetivismo al realismo. Su interpretación exige, en efecto, una filosofía realista de la matemática y una nueva noción de intelección, realidad y verdad que concilie construcción e imposición. De ahí que la Trilogía sobre la intelección (Inteligencia sentiente, Inteligencia y Logos e Inteligencia y Razón) sea, además de una "noología", una filosofía de la matemática; y el Teorema de Gödel es su piedra angular. Puede hablarse de una filosofía zubiriana pregödeliana y otra post-gödeliana de la matemática y en general.

La originalidad de la filosofía de la matemática zubiriana radica en su elaboración desde la perspectiva de la inteligencia sentiente o de la impresión de la formalidad de realidad. Zubiri, frente a la tradición filosófica europea, afirma que la inteligencia no es concipiente sino sentiente. Su función primaria no es concebir y juzgar lo dado por los sentidos, sino impresión de realidad. La inteligencia siente "a una" el contenido sensible y su realidad . Ahora bien, ésta, desde la inteligencia sentiente, no es zona de cosas "allende" la impresión, sino Formalidad del "de suyo" o modo de quedar independientemente el contenido en la impresión. La existencia y las notas pertenecen al contenido, no a la formalidad de realidad, que es primera en el orden de la fundamentación. Y, por último, la verdad no es primariamente cualidad de la afirmación, sino la realidad presente en intelección.

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II. Intelección matemática: "a una" sentir y construir.

La nueva filosofía de la matemática de Zubiri se sitúa en la línea constructivista al considerar la matemática como una construcción. Pero ésta desde la perspectiva de la inteligencia sentiente tiene un nuevo sentido. No es una conceptualización ni síntesis, sino una realización o proyección del contenido objetivo, creado "según conceptos", en "la" realidad física dada en aprehensión primordial. No es un acto arbitrario de la inteligencia: tiene un momento sentido de imposición de "algo real" y otro libremente crea cío. Por tanto, el constructivismo zubiriano de la matemática es "a una" sensismo y constructivismo.

El sensismo matemático puede formularse en los términos: sólo sintiendo lo matemático podemos construir la matemática. El sentir es, pues, condición de posibilidad para construir. Pero ¿cómo se siente lo matemático? La perspectiva zubiriana no es el sentir "sensible" (ej. este color verde, esta melodía o rayo de luz) sino el sentir "intelectivo", que siente la realidad física, sea el contenido sensible o construido. Sentir "lo" matemático significa primariamente sentir el momento transcendental de "la" realidad. Ésta es dada en aprehensión primordial compactamente con el momento individual de la cosa, pero, al transcenderlo, puede autonomizarse, dejando a la inteligencia en una impresión transcendental de realidad. En tanto que ámbito de realidad "vacío de contenido" hace posible que la inteligencia proyecte en ella un contenido creado "según conceptos". Así pues, la construcción matemática no es mental o lógica, sino un proceso llevado a cabo en impresión o sentiente. Así lo prueba la imposición de nuevas propiedades no puestas o deducidas por el matemático (Teorema de Gödel).

Ahora bien, sensismo no es sensualismo. Mientras que el primero es la reducción de la impresión de realidad del objeto matemático a la del objeto sensible, el segundo es la reducción del contenido. Sentimos la realidad del objeto matemático idénticamente a la del objeto sensible; pero no su contenido, que no es sensible sino inteligible. Por ello, puede distinguirse entre la impresión sensible (de objetos con contenido dado) y la impresión meramente transcendental (de contenidos con contenido creado).

"No se trata de que un espacio geométrico o un número irracional sean sentidos como se siente un color; esos objetos evidentemente no son sensibles. Se trata de que el modo de intelección de un número irracional o de un espacio geométrico es sentiente. Y lo es: primeramente porque se inteligen postuladamente en un campo de realidad, esto es en la formalidad dada en impresión de realidad, y en segundo lugar porque su construcción misma no es mera conceptualización sino realización, es decir algo llevado a cabo sentíentemente. Sin sentir lo matemático, no se puede construir la matemática" (1982, 145).

El Teorema de Gödel pone de manifiesto, según Zubiri, la distinción irreductible de dos mbmentos en el pensar matemático: la estructura lógica y la actualización de lo real matemático. Éste es fundamental. De ahí su nueva concepción constructiva de los conceptos, postulados, juicios y pruebas matemáticos, frente a la concepción logicista. Los conceptos matemáticos no son meramente lógicos, sino constructos. Los postulados matemáticos no postulan primariamente verdad, sino contenido "según conceptos" de "la" realidad dada en aprehensión primordial. El juicio matemático no es una relación de conceptos, sino la realización de un concepto constructo en la realidad postulada. El método matemático no consiste en la deducción lógico-formal de verdades, sino en "hacer" la deducción en "la" realidad postulada. Consta de tres momentos: a) Sistema de referencia: es la realidad sentida con independencia de su contenido, b) Esbozo del libre sistema de postulados o axiomas, que son posibilidades [143] reales, c) Experiencia: com-probación física de la realidad en su verdad, esto es, la unidad de la verdad de la afirmación y la aprehensión en la realidad de que realmente es así.

III. Objeto matemático: "a una" realidad y construcción.

La construcción matemática consiste en la proyección del contenido libremente creado "según conceptos" en el ámbito transcendental de realidad física sentida. De ah que sea "a una" realismo (donación de realidad) y constructivismo (construcción de contenido "según conceptos"). Tiene primacía el primer momento: Sin la realidad de lo matemático, no podría construirse la matemática.

Zubiri define, desde inteligencia sentiente, un nuevo paradigma de "transcendentalidad" que origina una nueva noción de objeto matemático. No es como piensa la tradición filosófica, un momento transcendente del contenido o de sujeto cognoscente, sino del "ex" de la formalidad de realidad en impresión. No es comunidad conceptiva del ente u objeto, sino comunicación ex-tensiva real. Así pues, la realidad de lo matemático es primariamente el ámbito transcendental de la física formalidad de realidad sentida. La inteligencia construye en ella un contenido libremente creado "según" conceptos", tanto en sus notas como en su existencia. Por tanto, la construcción matemática no es construcción en conceptos sino realidad en concepto.

"La construcción matemática es siempre por tanto un acto de inteligencia sentiente. Y por tanto el objeto matemático tiene realidad postulada. No es un concepto objetivo de realidad sino que es realidad en concepto. Es, insisto, la realidad misma de cualquier cosa real sentientemente aprehendida pero con un contenido libremente construido en dicha realidad según conceptos. Lo postulado, repito, no son verdades lógicas ni operaciones ejecutadas, sino que es el contenido de lo real (ya definido o ejecutado) en construcción y por construcción postulada" (1992,143-4)

El realismo matemático es una de las principales implicaciones del Teorema de Gödel. En efecto, para Zubiri no significa la mera limitación de los sistemas formales para expresar la matemática, sino que muestra el carácter real de lo construido según los axiomas y postulados. Lo construido en "la" realidad es, por estar realizado, más que lo postulado al realizarlo: tiene propiedades "de suyo". Su estructura es translógica o transcendental ("más" que cualquier contenido determinado). Zubiri, como Gödel, considera la Metafísica, y no la Lógica, fundamento de la matemática. Esta vive, en efecto, de lo transcendental o metafísico.

El realismo matemático de Zubiri es un realismo constructivo, en contraposición a realismo "ingenuo" o "crítico". La formalidad de realidad (el "más") de los objetos matemáticos es idéntica a la de los objetos sensibles. Difieren, no obstante, en el contenido: construido en la matemática y dado inmediatamente en los objetos sensibles. De ahí la distinción entre realidades "en y por sí misma" (ej. este libro) y realidades "en y por postulación" (ej. un número complejo). Los objetos matemáticos no son cosas físicas (fisicalismo), pero tampoco mentales (mentalismo), sino cosas libres. El constructivismo zubiriano, a diferencia del resto, afirma la dependencia de los objetos matemáticos no sólo de las mentes de los matemáticos sino también de "la" realidad. Son independientes no de la mente humana, sino en ella. Pertenecen a un mundo real en impresión, sólo accesible a la unidad intrínseca de descubrimiento creación. [144]

Esta postura permite explicar la aplicación de la matemática a la realidad, pues no es una construcción arbitraria sino llevada a cabo en la impresión de realidad. Asimismo, a las ciencias porque la impresión de realidad es la misma en toda construcción científica. Además, presenta una objeción original a la pregunta de Turing ¿puede pensar una Máquina? En tal caso, tendría que moverse en "la" realidad como ámbito físico sentido y no en meros estímulos.

IV. Verdad matemática: "a una" encuentro lógico y cumplimiento histórico.

Zubiri admite en su filosofía pre-gödeliana de la matemática la demarcación "logicista" entre las verdades de la matemática-de razón, demostrables, necesarias y adecuadas-y las de las ciencias de la naturaleza-de hecho, empíricas, contingentes y aproximadas-. El Teorema de Gödel le lleva a considerar la verdad matemática también de realidad experiencia, anclada en algo dado y aproximada. Ahora bien, no la reduce sin más al tipo de verdad de las ciencias naturales, sino que amplía el dominio de realidad y experiencia. Por tanto, la nueva demarcación es la siguiente.

Común a la verdad	Verdad matemática	Verdad de las ciencias naturales
1. de realidad dada	"en y por postulados"	"en y por sí misma"
2. de experiencia	com-probación física	experimentación
3. aproximación	aspectual	inexacta

Este giro gödeliano de la verdad matemática implica el regreso al infinito y el abandono del dogmatismo inicial. Pero ¿cae en un escepticismo? Zubiri critica la conversión de "principio" en "juicio lógico" o "intuición evidente", que conlleva un conocimiento estático y cerrado. Por el contrario, el principio último de la matemática (y de cualquier intelección) es la respectividad de lo real. Al remitir siempre una nota a otra, nunca pueda agotarse la realidad en ningún conocimiento, siempre es "más" que cualquier contenido determinado. La apertura de la realidad "postulada" funda la apertura y progreso del conocimiento matemático.

Zubiri, tras abandonar la Teoría pre-gödeliana de la Verdad como Consistencia, adopta la Teoría de la Conformidad de la verdad matemática con lo real. La verdad matemática se funda en la realidad, o en la verdad del "ámbito" de realidad sentida Por tanto, es construcción "en verdad".

La verdad matemática es lógica en tanto que envuelve afirmaciones del logos o intelección de una realidad "entre" otras. Y como tal es evidente, rigurosa, exacta y cierta. Ahora bien, estos términos no tiene un sentido lógico sino realista. Evidencia es visión ex-igencial desde lo real; rigor es constreñimiento ex-igencial por lo real; exactitud es atenimiento a la ex-igencia de lo real; y certeza es modo de intención afirmativo de lo real actualizado con efectividad. Por otra parte, la verdad matemática es histórica, en el sentido de realización de posibilidades esbozadas o actualización cumplida. Entre los caracteres lógico "y" histórico de la verdad matemática no hay mera conjunción, sino unidad intrínseca: Es lógica históricamente e histórica lógicamente. Es "a una" encuentro en búsqueda y cumplimiento en esbozo, esto es, encuentro cumpliendo y cumplimiento encontrando.

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Referencias

ZUBIRI, XAVIER (1921), Le problème de l' objetivité d' aprés Ed. Husserl. La logic pure, tesis de licenciatura (no publicada). Lovaina.

(1923), Tesis Fenomenológica del juicio, Rev. de arch. Bibl. y Museos Madrid

(1962), Sobre la Esencia, Alianza Editorial, Madrid

(1979) "Respectividad de lo real", en Realitas. III-IV 1976-1979. Sociedad de Estudios y Publicaciones. Ed. Labor. Madrid, Pp. 13-43.

(1980), Inteligencia Sentiente ,Alianza Editorial, Madrid.

(1982), Inteligencia y Logos, Alianza Editorial, Madrid

(1983), Inteligencia y razón, Alianza Editorial, Madrid

(1986), Sobre el hombre, Alianza Editorial, Madrid

(1994), Problemas fundamentales de la Metafísica occidental, Alianza Editorial Madrid.

Díaz Muñoz, Guillerma (1995) Zubiri y la matemática: un nuevo constructivismo. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid, Madrid.

(1995) Zubiri, Lakatos y la crisis gödeliana del fundamento matemático. Ponen dada en el Seminario X. Zubiri (Madrid), el 13 de mayo de 1994, en prensa.