CAPITULO CUARTO.
CONSTRUCTIVISMO TRASCENDENTAL
EL OBJETO MATEMATICO1. CONSTRUCTIVIDAD Y TRANSCENDENTALIDAD EN LA MATEMATICA
En toda crisis de principios de la ciencia, la filosofía busca un fundamento que permita salir de la misma. Ante el desarrollo científico de la matemática y de la ciencia de finales del s. XIX y principios del s. XX, Zubiri toma como fundamento de todo lo demás: el mundo de la objetividad. Dice en 1921:
"Si la filosofía ha sido en todas las épocas una fundamentación teórica de la ciencia, la Filosofía, no ya moderna, sino contemporánea, debe cambiar de norte respecto a los clásicos del siglo XIX, y fundamentar críticamente ese mundo de la objetividad, base de todos los demás"[1]
Ahora bien, ¿puede la objetividad pura dar razón del Teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética? No. Hay verdades que se nos imponen y que no son demostrables ni refutables en el sistema en que se formalizan. ¿Qué rumbo tomar, pues, para fundamentar la matemática? ¿Cuál es la nueva base filosófica de todas las ciencias? En su etapa metafísica, Zubiri responderá que el mundo de la realidad o la transcendentalidad es la base de todos los demás. De ahí que Zubiri diga: "toda verdad es metafísica" [2]. Esta afirmación choca con la mentalidad de la filosofía clásica. Y, a nuestro modo de ver, responde a una de las claves de la aportación original de la filosofía de Zubiri. Esta afirmación general aplicada a nuestro objeto de estudio implica que toda verdad matemática es metafísica. Pero ¿cómo se puede decir que toda verdad es metafísica y, en concreto, que toda verdad matemática es metafísica? Esta cuestión es capital. La respuesta es lo que nos lleva a caracterizar la filosofía de la matemática zubiriana como Constructivismo Transcendental.
En este capítulo pondremos de manifiesto que la base de la construcción matemática es el momento transcendental de "la" realidad sentida. Es lo que denominamos transcendentalismo de la matemática. Sin "la" realidad de lo matemático no se puede construir la matemática, por lo mismo que "sin sentir lo matemático, no se puede construir la matemática". Ambas afirmaciones son congéneres porque cuando hablamos de sentir lo matemático se trata, ya lo vimos, de sentir la formalidad campal de realidad; y, recíprocamente, la realidad de lo matemático es impresión de realidad dada en aprehensión primordial. El sensismo de la matemática es "a una" transcendentalismo de la matemática. La matemática sólo es posible por el momento transcendental de la física realidad campal dada impresivamente en aprehensión primordial de cualquier cosa real. La construcción sentiente es construcción en el ámbito transcendental de "la" realidad sentida. De ahí que desde el punto de vista del objeto, el nuevo Constructivismo de Zubiri es un Constructivismo Transcendental, así como Sentiente (según nos fijemos en la intelección o en el objeto de la matemática). Son aspectos congéneres. Esquemáticamente:
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/1. Sentir lo matemático
Sensismo de la Matemática
CONSTRUCTIVISMO SENTIENTECondición de posibilidad de la construcción matemática: Sentir "la" realidad de lo matemático.
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\
\2. La realidad de lo matemático
Transcendentalismo de la matemática.
CONSTRUCTIVISMO TRANSCENDENTAL
El Constructivismo transcendental da una respuesta original a importantes cuestiones de la actual filosofía de la matemática, por ejemplo: ¿son reales las construcciones matemáticas?, ¿en qué consiste su realidad física?, ¿cómo existen los objetos matemáticos?, ¿qué tienen que ver con las cosas sensibles?, ¿son dependientes o independientes de la mente del matemático? Todas ellas cobran nueva luz considerando como fundamento de la matemática el ámbito transcendental de realidad.
1.1. Transcendentalismo de la Matemática.
La idea "medular" de toda la filosofía de la matemática de Zubiri es que sin la realidad de lo matemático no se puede construir la matemática. En el capítulo anterior implícitamente esto ya ha quedado reflejado, pues la construcción de los conceptos, de los objetos, de los juicios y de las pruebas es en "la" realidad. Pero ¿qué es la realidad de "lo" matemático? ¿Es distinta de la realidad de "lo" físico, de "lo" biológico, de "lo" histórico, de "lo" novelado, etc.? No, es la base metafísica común a cualquier intelección, esto es, el momento de transcendentalidad del campo "físico" de realidad o, más brevemente, el ámbito transcendental. La matemática y todas las ciencias (también cualquier intelección campal y racional) se fundamentan en el ámbito transcendental. A pesar de que todas las ciencias viven de esa base, sin embargo, no es objeto de análisis de ninguna de ellas; es, por el contrario, una tarea inexorable para el filósofo de la ciencia, y en nuestro caso para Zubiri. El estudio de la transcendentalidad es objeto de la metafísica y en este sentido las verdades metafísicas son distintas de las verdades matemáticas o de las verdades científicas. Pero, en cuanto que la transcendentalidad es la base en la que se construye la matemática o se crea la ciencia, podemos decir que sus verdades son metafísicas, bien entendido que no es en su contenido sino en su formalidad de realidad. Son verdades de realidad. No se aclara todavía con lo que llevamos dicho esta cuestión, hilo conductor de toda esta parte, porque ¿cómo son verdades de realidad las verdades matemáticas?, se irá viendo más adelante. Para que se entienda de qué modo lo transcendental es la base metafísica de la matemática nos vemos obligados a exponer qué significa para Zubiri el término "transcendentalidad".
1.1.1 Nuevo Paradigma de "Transcendentalidad"
La transcendentalidad es una noción fundamental de la filosofía. Su significado en la tradición, según Zubiri, pende de su conceptuación desde la inteligencia concipiente. Su repercusión es grave en la metafísica y en la matemática. De ahí que se proponga una nueva concepción desde la inteligencia sentiente.
"Transcendentalidad es un concepto central en la filosofía tanto antigua como moderna. Pero esta filosofía conceptuó la transcendentalidad (como no podía menos de ser) desde la inteligencia concipiente. La inteligencia sentiente nos lleva a un concepto distinto de la transcendentalidad" [3]
Así como un nuevo paradigma de sentir conduce a una nueva concepción de la intelección matemática, un nuevo paradigma de "transcendentalidad" nos lleva a una nueva concepción del objeto matemático. Esquematizamos a continuación el giro en la noción de "Transcendentalidad" de concipiente (tanto del idealismo como de la Escolástica) a sentiente.
Transcendentalidad concipiente
"versus"
Transcendentalidad sentiente
1. a) Estructura del sujeto puro
b) Momento de la realidad "allende"
la impression
1. Momento de la realidad en impresión
2. Carácter del contenido de la impresión
2. Carácter de la formalidad de realidad en impresión.
3. a) Es "trans" en el sujeto transcendental
b) Es "trans" "fuera" de la impression
3. Es "trans" en la formalidad "de suyo" de la realidad campal.
4. Momento conceptivo
4. Momento físico de las cosas reales dadas en impresión.
5. Es Comunidad universal de lo concebido
5. Es Comunicación ex-tensiva real
Veamos más detalladamente en qué consiste este cambio paradigmático de "la transcendentalidad" a fin de extraer todas sus consecuencias respecto del Constructivismo Transcendental.
En primer lugar, lo verdaderamente revolucionario está en considerar la Transcendentalidad como un momento de la realidad en impresión. Zubiri elimina toda su carga idealista; sostiene, frente al idealismo transcendental de kant, que la transcendentalidad no está puesta por el yo puro, ni su término es la objetividad, sino el orden de lo real, anterior al orden de la verdad y fundamento de ésta En cuanto objeto de la inteligencia sentiente, es realidad dada en impresión.
"¿Que es lo transcendental? Lo que es transcendental es aquello que constituye el término formal de la inteligencia, a saber, la realidad. Y esta realidad nos está presente en impresión. Por tanto, quien es transcendental es la realidad en impresión"[4]
La Transcendentalidad es, pues, un carácter real, no de una realidad "fuera" de la impresión, sino de la formalidad de realidad dada en impresión. La filosofía clásica ha conceptuado el "Trans" en la línea del contenido de la impresión de realidad, lo que le ha llevado a afirmar que este contenido es transcendente. Pero esto siempre es problemático y precisa una justificación. No puede identificarse, según Zubiri, transcendencia y transcendentalidad. Mientras que la primera se refiere al contenido de realidad, la segunda se refiere a la formalidad de realidad. "Trans" no significa "estar allende" la aprehensión. Esto sería impresión de lo transcendente, no impresión transcendental. Dentro de la aprehensión, la formalidad de realidad es transcendental porque es "más" que cualquier contenido determinado de lo real.
"La impresión de realidad no es impresión de lo transcendente, sino impresión transcendental. El trans no significa, por tanto, estar fuera o allende la aprehensión misma sino estar "en la aprehensión", pero "rebasando" su determinado contenido"[5]
Del mismo modo que transcendentalidad no es transcendencia, hay que afirmar que no es tampoco inmanencia. Ambas nociones hacen referencia al contenido. Según Zubiri, la realidad está en la impresión, pero independientemente, esto es lo que significa formalidad "de suyo" o "en propio".
"Esta formalidad no es formalmente realidad allende la aprehensión. Pero tan enérgicamente como esto ha de decirse que no es puramente inmanente, empleando una terminología antigua y literalmente inadecuada. La formalidad es por un lado el modo de quedar en la aprehensión, pero es por otro el modo de quedar ‘en propio’, de ser ‘de suyo’". [6]
La Transcendentalidad es comunicación ex-tensiva real. Esta noción veremos que es sumamente novedosa y fecunda para la filosofía matemática. Zubiri rechaza la concepción tanto greco-medieval como la kantiana de lo transcendental, a saber, aquello en que coincide todo lo concebido, sea objeto o ser. Sólo desde una inteligencia concipiente puede ser"comunidad universal" de lo concebido. Desde una inteligencia sentiente, transcendentalidad es el carácter de una formalidad que desde una cosa real transciende a otras; es comunicación ex-tensiva real. Zubiri lo hace plástico con la imagen de una gota de aceite que se extiende desde sí misma, desde el aceite mismo. Se trata de una "ex -pansión", de una "ex -tensión" física de la formalidad de realidad desde cada cosa real a otras. Transcendentalidad es el momento del "ex" de la formalidad de lo real en impresión.
"La transcendentalidad es algo que, en este sentido, se extiende desde la formalidad de realidad de una cosa a la formalidad de realidad de toda otra cosa. Transcendentalidad entonces no es comunidad, sino comunicación. (...) La formalidad misma de realidad es constitutiva y formalmente "ex-tensión". Por tanto, no se trata de mera universalidad conceptiva, sino de comunicación ex-tensiva real. El trans de la transcendentalidad es un "ex" de la formalidad de lo real" [7]
La Transcendentalidad es un momento físico de las cosas reales dadas en impresión. El "Trans" no es un carácter conceptivo de máxima universalidad, sino que es de carácter físico, es la comunicación ex-tensiva de lo real. Hacemos hincapié en este carácter físico. de la transcendentalidad porque al referirnos a la realidad física del objeto matemático nos estaremos refiriendo a este carácter físico de la transcendentalidad sobre el cual se construye la matemática. La filosofía clásica sólo ha atribuido el carácter de "físico" al contenido de las realidades dadas, y esto es así, pero insuficiente, pues también el momento de la formalidad de realidad es físico, si bien sea de un modo distinto. ¿Y en qué sentido es físico el momento de formalidad de realidad? La formalidad de realidad es algo que yo no he concebido, sino que me es dado impresivamente a través de la aprehensión primordial de cualquier cosa real; se me impone con una fuerza propia, de tal modo que me hace estar en "la" realidad. Pues bien, la formalidad de realidad por tener estos caracteres no es conceptiva, sino física. Zubiri toma el término físico como lo opuesto a conceptivo. Físico es equivalente a lo real e idénticamente a lo sentible (sea impresión sensible o impresión transcendental). Es fuente de confusión identificar lo físico y lo sensible. ( ya vimos esta distinción en el capítulo anterior a propósito de la ampliación del paradigma de sentir según lo entiende Zubiri). La transcendentalidad no es un momento sensible (no tiene un contenido dado, sino que transciende cualquier contenido, es "más" que cada uno de ellos), pero es un momento físico dado impresivamente (porque es un momento de la formalidad de realidad).
"La unidad del acto de esta inteligencia sentiente es la aprehensión impresiva de lo real. Esta aprehensión tiene un contenido específico y un momento inespecífico de realidad. Por este momento es por lo que la aprehensión de lo real nos instala inmediatamente en el campo transcendental de lo real como tal. Y recíprocamente, la forma radical, primaria y primigenia de la transcendentalidad es impresión. La transcendentalidad es así un momento físico y no conceptivo de la impresión"[8]
Y
"la transcendentalidad no es de carácter conceptivo, sino de carácter físico. Es un momento físico de las cosas reales en cuanto sentidas en impresión de realidad. No es algo físico al modo como lo es su contenido, pero es, sin embargo, algo físico: es lo físico de la formalidad, esto es, la física del trans en cuanto tal" [9]
La transcendentalidad es el "trans" que posee la formalidad "de suyo" de la realidad campal respecto de las realidades concretas. La realidad es una formalidad, es siempre y sólo lo que es "de suyo", "en propio". No es una "zona" especial, de cosas. Zubiri amplía el término de realidad, de tal modo que no sólo conviene a lo transcendente o "allende" la impresión, sino que algo puede ser también real "en" la impresión. Por tanto, realidad de los objetos no significa independencia o allende nuestra inteligencia sentiente. Zubiri no defiende ni un realismo ingenuo, ni crítico, sino un realismo transcendental. Realidad no es una zona de cosas "allende" la impresión, sino que realidad es mera formalidad. Habrá cosas reales "en" la inteligencia sentiente y cosas reales "allende" la inteligencia sentiente. Lo real "en" la inteligencia sentiente puede que no sea real más que en la inteligencia sentiente, pero esto no implica que no sea real "en" ella. Pudiera ser que los objetos matemáticos no fueran reales más que "en" la inteligencia sentiente, pero no dejan por ello de ser reales. Es otro punto capital para entender el Constructivismo Transcendental.
"Realidad, repito, es formalidad del "de suyo" sea "en" la impresión, sea "allende" la impresión. Lo impresivamente real y lo real allende coinciden, pues, en ser formalidad del "de suyo"; esto es, coinciden en ser reales." [10]
Y un poco más adelante, añade:
"Por esto más que de realidad y realismo (tanto crítico como ingenuo) habría que hablar, según dije páginas atrás, de reidad y reismo. "Reidad": porque no se trata de una zona de cosas, sino de una formalidad. "Reismo": porque este concepto de reidad o realidad deja ahora abierta la posibilidad de muchos tipos de realidad" [11]
Aunque ya hemos adelantado alguna idea de la repercusión que tiene este cambio paradigmático de la transcendentalidad en la filosofía de la matemática, pasamos a analizarlo más detalladamente a continuación.
1.1.2. Ambito transcendental: Principio metafísico de la construcción matemática.
Gödel[12], consideraba "un prejuicio de la época" suprimir la metafísica. También Zubiri lo debió de ver así, y su intento es restaurarla dentro de la vida intelectual, volviendo a otorgarle el puesto que ya Aristóteles reservó para ella (aunque su noción de metafísica es muy distinta de la aristotélica, pues ésta es concipiente y la suya es sentiente). El empeño está justificado; no sólo los positivistas lógicos, también los intuicionistas rechazan cualquier tipo de fundamento metafísico de la Matemática. Oigamos, por ejemplo, a Heyting:
"... me parece que para aclarar el sentido de su pregunta tiene que apelar de nuevo a conceptos metafísicos, a cierto mundo de objetos matemáticos que existiesen independientemente de nuestro conocimiento de ellos, y en el que "1 = 1" sería verdad en cierto sentido absoluto; ahora bien, repito que las matemáticas no deberían depender de conceptos tales como ese."[13]
Y continúa:
"En realidad, todos los matemáticos (incluso los intuicionistas) están convencidos de que en cierto sentido las matemáticas se refieren a verdades eternas; pero cuando trata uno de definir con precisión tal sentido se enreda uno en un laberinto de dificultades metafísicas; y la única forma de evitarlas es proscribirlas de las matemáticas."[14]
Zubiri pensará que la metafísica proscrita, y con razón, de la matemática es la metafísica concipiente, pero pensará ¿dónde está escrito que este concepto de metafísica sea el único posible? ¿no es posible una metafísica de índole sentiente que esté a la base de la realidad matemática y de sus conceptos? En efecto, la metafísica, dirá el autor, no es una disciplina de conceptos abstractos y a priori, tampoco de la realidad transcendente. Comparte la convicción de la época de que una metafísica concipiente no puede fundamentar la matemática. ¿Cuál es el objeto de la metafísica sentiente? Según hemos visto, es el momento del ex de la "física" formalidad de realidad sentida. Lo "trans" pende de las cosas reales. No es un orden a priori, como tampoco es a posteriori; se funda en la formalidad en que "quedan" las cosas reales en la inteligencia sentiente. Metafísica es, pues, la "aprehensión sentiente de la física transcendentalidad de lo real."
"no se trata de inteligencia sensible, sino de inteligencia sentiente: impresión de realidad. En este sentido de "física del trans", y sólo en este sentido, la transcendentalidad de la impresión de realidad es un carácter formalmente metafísico: es lo metafísico no como intelección de lo transcendente, sino como aprehensión sentiente de la física transcendentalidad de lo real"[15]
Sólo en este sentido de metafísica nos referimos al principio metafísico de la matemática en el nuevo Constructivismo de Zubiri. Principio último de la Matemática no son los conceptos, ni los juicios primeros o fundamentales. "La conversión del principio en juicio fundamental, nos dice Zubiri, es uno de los avatares más graves de la historia de la filosofía"[16]. Principio es lo que activa nuestra inteligencia y, por tanto, no puede ser más que la realidad en su apertura, en su transcendentalidad. Estamos poseídos por la realidad, de lo contrario nos sería imposible crear la matemática como ciencia de realidad. El principio de la Matemática es un principio real o "físico", no conceptivo. "Lo" matemático es "lo" metafísico o "lo" transcendental que, insistimos, no es "más allá" de lo físico, sino "más allá" de este contenido concreto de lo real sentido. Para Zubiri no hay una fundamentación lógica de la matemática (en oposición al logicismo matemático), como de ninguna otra ciencia, sino que hay una fundamentación metafísica. El cambio de paradigma de "transcendentalidad" está a la base del giro de la lógica a la metafísica en el fundamento matemático. "La realidad como principio, nos dice Zubiri, está en la razón no sólo objetivamente, sino realmente"[17] La condición de posibilidad de cualquier intelección racional es el ámbito trascendental de realidad. Éste no tiene una realidad por sí mismo, sólo existen las cosas reales, pero la realidad de éstas al ser formalidad abierta en respectividad es más que cada una de ellas y podemos darle cierta autonomía liberándola del contenido concreto. Este ámbito es el que posibilita la libre construcción en él de un contenido postulado según conceptos, y así construimos la matemática. Y no sólo la matemática sino cualquier ciencia y cualquier intelección racional es libre creación del contenido de la realidad transcendental. Apoyándonos en la afirmación que hiciera Zubiri en 1921: "Toda ciencia es una elaboración trascendente, y, sin saberlo ni quererlo, vive de la Metafísica" [18], podríamos poner en su boca (porque no lo hemos hallado explícitamente), ya en su etapa metafísica, esta otra afirmación: toda ciencia es una creación transcendental, y, sin saberlo ni quererlo, vive de la Metafísica. Y en el caso que nos ocupa: la Matemática es una libre construcción transcendental, y, sin saberlo ni quererlo, vive de la Metafísica. Todas las ciencias tienen como principio último la realidad en su momento transcendental. "El principio de todos los limitados principios de la razón es ‘realidad’ "[19]. Este principio último de la Matemática y de la Ciencia no es nada acabado, absoluto, sólo es una formalidad de realidad como ámbito transcendental, pero queda averiguar cuál es su contenido en cada caso y esto siempre es problemático y provisional.
El momento de la física transcendentalidad de la formalidad de realidad sentida es un ámbito de realidad que hace posible que la inteligencia humana se mueva libremente. Esto es fundamental. La matemática no es un movimiento de la inteligencia de unos conceptos a otros, en un plano meramente mental, sino que es un movimiento en la física formalidad de realidad en su momento transcendental.
"Dice Zubiri: "...el momento de realidad no solamente es un carácter que tiene cada una de las cosas, sino que es una especie de ámbito en que la inteligencia queda, precisamente porque es más que aquello en que la cosa real consiste; porque excede o transciende físicamente a lo que es cada una de las cosas. La realidad como ámbito es el momento de realidad en cierto modo tomado en su transcendentalidad, respecto de las cosas reales que hay en la realidad. Al ocurrir esto, la inteligencia queda en una situación curiosa ". Está atenida al momento de realidad, pero como ámbito." [20]
La inteligencia al quedar en la realidad como ámbito transcendental, esto es, como "de suyo", pero sin un contenido concreto, puede construir libremente los objetos matemáticos como contenidos de este ámbito transcendental. Ya hemos dicho que es en el momento de transcendentalidad de la realidad, en el que la inteligencia se mueve libremente y construye los objetos matemáticos por postulación, donde hay que fijarse para decir que los objetos matemáticos tienen una realidad física. Para Zubiri la realidad física de los objetos matemáticos consiste en el momento físico de transcendentalidad de la realidad que está a la base de la construcción matemática. La realidad física de lo matemático no se debe al contenido postulado, sino a la proyección de éste en la impresión de realidad.
"...la realidad de los objetos matemáticos es el momento de transcendentalidad que tiene el momento "físico" de realidad como ámbito en el cual están constituidas las cosas y dentro del cual se mueve la inteligencia humana.(...) Los objetos matemáticos son determinaciones construidas dentro del momento "físico" de realidad y precisamente por el momento de realidad como ámbito."[21]
El transcendentalismo matemático significa, pues, que la matemática está constituida[22] en el momento transcendental de la realidad de cada cosa real sensible. Al ser este momento de la física realidad "más" que su contenido concreto posibilita la libre construcción del contenido matemático.
"La realidad de los objetos matemáticos es el "más", ese mismo "más" de toda cosa real en y por sí misma. Y precisamente por ser un "más" es por lo que se presta a tener un libre contenido por postulación."[23]
Ese "más" donde se construyen los objetos matemáticos es el momento campal de la formalidad de lo real sentido. De ahí que la campalidad, en cuanto ámbito transcendental, es la base de la construcción matemática. El papel que juega esta noción de campalidad en la filosofía de la matemática es crucial, lo hemos visto en la intelección, ahora en el objeto y posteriormente en la verdad, sin ella su filosofía de la matemática sería imposible. Así como esta noción de campo es importantísima en la física, no lo es menos en la matemática, si bien no es un campo "allende" la impresión de las cosas reales sino "en" la impresión de las cosas reales. El campo es un momento transcendental de la realidad física sentida y lo matemático es realidad física sentida por ser una construcción en él.
"Ambito y transcendentalidad no son sino dos aspectos de un solo carácter: el carácter campal de lo real sentido. Este carácter es al que unitariamente llamaremos ámbito transcendental. La formalidad de lo real tiene así dos aspectos. Es por un lado, la formalidad de cada cosa en y por sí misma, lo que pudiéramos llamar muy laxamente formalidad individual. Pero por otro lado es una formalidad excedente en ella, esto es, es una formalidad campal. Y esta campalidad es ámbito transcendental." [24]
Zubiri insiste continuamente en que el ámbito transcendental, base de la construcción matemática, es la realidad campal sentida. Se trata, pues, de la formalidad de realidad dada en impresión en su momento campal. El "trans" de la dimensión campal de las cosas reales no es un "allende" ellas, sino un "trans" o un "más" "en" ellas; es estar "en aprehensión, pero ‘rebasando’ su determinado contenido. La transcendentalidad es un momento de la respectividad de lo real en cuanto sentida en impresión de realidad, esto es del campo. El momento de transcendentalidad del campo es el que nos lleva de unas realidades a otras y el momento de ámbito es el que aloja a otras realidades.
"El campo es "más" que cada cosa real, pero es más "en" ellas mismas. El campo es, en efecto, la respectividad misma de lo real en cuanto dada en impresión de realidad. Y esta respectividad es "a una" transcendentalidad y ámbito. Son los dos caracteres que dan su pleno contenido a la respectividad. Como transcendentalidad, la respectividad constitutiva de lo real lleva en cierto modo a cada cosa real desde sí misma a otras realidades. Como ámbito es el ambiente que aloja a cada cosa real." [25]
Zubiri denomina la base metafísica de la construcción matemática con las nociones: campo de realidad (en cuanto tal realidad), ámbito de realidad, ámbito transcendental y "la" realidad. El sentido de cada uno debemos verlo englobando todos los demás. El campo de realidad es un ámbito de realidad que tiene también el carácter de transcendentalidad, y en cuanto momento autonomizado de la formalidad individual de lo real concreto puede denominarse "la" realidad. Este término de "la" realidad, si atendemos al contenido de realidad, no es unívoco, porque puede referirse a la realidad campal y a la realidad mundanal. Y mientras que en la realidad campal el contenido es sentido, en la mundanal es pensado. Ahora bien, si atendemos a la formalidad de realidad es numéricamente la misma: es la formalidad de realidad dada en aprehensión primordial de realidad por cada cosa real. Pues bien, el término "la" realidad alude a este segundo sentido. De ahí que Zubiri use el vocablo "la" realidad sin mayor especificación, la única precisión está en tomarla no en su momento individual sino en su momento transcendental.
"El mundo de la realidad es el mismo que el de la realidad campal en cuanto realidad. No es la mismidad de un concepto objetivo sino la identidad física y numérica de un ámbito. (...) La realidad campal es "la" realidad en el campo, es la realidad en su estructura aquende; "la" realidad mundanal es esa misma realidad en su estructura allende. Ambas estructuras no son independientes. Su dependencia se manifiesta en su mismo carácter. La respectividad campal es la misma respectividad mundanal pero, en cierto modo en cuanto sentida."[26]
Este texto de Zubiri es uno de los más complejos si lo referimos a la matemática. Aparece una cuestión que en su filosofía de la matemática no resulta clara, de ahí que tengamos que ofrecer nuestra interpretación del mismo al hilo de su pensamiento general. En el texto, Zubiri distingue en "la" realidad una estructura "aquende" y una estructura "allende", estructuras que no son independientes, puesto que se trata de la "misma" realidad, de la "misma" respectividad. La distinción de la realidad campal y la realidad mundanal está en el contenido, pero no en la formalidad de realidad que es idéntica. El contenido en el campo es dado (sentido), mientras que en el mundo es creado o construido (pensado). Por ejemplo el contenido del verde nos es dado en una impresión sensible, mientras que el contenido de fotón es esta misma realidad del verde pero con un contenido pensado. En el primer caso es la estructura "aquende" del fotón y en el segundo caso es esa misma realidad en su estructura "allende". Ahora bien, si entendemos así la noción de campo y la noción de mundo, ¿cómo se aplica a la matemática? ¿Qué estructura "aquende" tiene un número irracional y qué estructura "allende"? Esta distinción está claro que en los objetos matemáticos no se establece. No hay ningún contenido dado "en y por sí mismo" porque no hay ninguna impresión sensible de lo matemático, no tenemos aprehensión inmediata sino sólo transcendental. El contenido es construido en la impresión transcendental. El matemático no piensa el contenido mundanal de un contenido campal, esto es, dado o sentido; a diferencia del físico que parte de un contenido concreto sentido campalmente, y desde él marcha en busca de su fundamento mundanal. Sus situaciones son evidentemente distintas. El matemático, repetimos, no parte de ningún contenido concreto sentido, lo hace de "la" realidad como ámbito transcendental. Ésta no es ningún contenido concreto, pero es sentido campalmente, y es un momento físico de realidad, que le lleva a pensar cuál es su estructura mundanal. Este ámbito es igualmente campal y mundanal porque no tiene un contenido sentido o dado, sino que los trasciende a todos. En cuanto ámbito, decía Zubiri en el texto, son idénticas la realidad campal y la realidad mundanal. De ahí la vacilación entre tratar lo matemático sólo como mundanal (en el sentido de estructura "allende" o pensada) o también como campal (en el sentido de estructura "aquende" o sentida). En este sentido, podemos hablar entonces respecto de los objetos matemáticos de una estructura aquende y una estructura allende. La matemática parte de un momento sentido, dado y físico, que si bien no es un contenido determinado o concreto, sí es un ámbito transcendental. El matemático piensa de él su contenido mundanal. La realidad de "lo" matemático, o ámbito transcendental matemático, es la física dimensión campal de las cosas reales aprehendida en la aprehensión primordial de cualquier cosa real, pero autonomizado del momento individual.
"Lo real en y por sí mismo es real de un modo transcendentalmente campal. La actualidad de lo real actualiza entonces con autonomía el campo como ámbito transcendental. La campalidad es un momento de la aprehensión primordial de realidad; que pueda funcionar con autonomía respecto del momento individual no significa que sea independiente de la aprehensión primordial. Este momento nos está dado pues allí donde lo real mismo nos está dado: en la impresión de realidad. La impresión de realidad es, pues, aprehensión primordial sentiente de lo real en su formalidad individual y campal: es impresión transcendental." [27]
El ámbito transcendental es un carácter físico de las cosas, Zubiri lo denomina: el ambiente "en" las cosas determinado por ellas mismas. Es la respectividad como ámbito. De ahí que no sea un vacío de realidad, sino un ámbito de la física formalidad de realidad. En cambio es vacío de contenido concreto. Pero ya hemos dicho que realidad y contenido no se identifican. Precisamente porque el ámbito transcendental es realidad vacía de contenido posibilita la libre construcción de un contenido postulado. Y el contenido consiste en notas y en la existencia. De este modo, en la construcción matemática se postulan libremente unas notas y la existencia de objetos matemáticos en "la" realidad. Zubiri considera un grave error de la Escolástica haber identificado realidad y existencia. Ésta no es que sea una nota del contenido, pero concierne al contenido. La formalidad de realidad es meramente el carácter "de suyo"[28]. La realidad es un momento "anterior" a su existencia y a sus notas. No una anterioridad de índole temporal, sino en el orden de la fundamentación. Sólo siendo real tiene la cosa existencia y notas. Se ve ahora que sólo porque estamos en "la" realidad podemos construir las notas y la existencia de los objetos matemáticos. Recordemos que Zubiri entiende la matemática como ciencia de realidad y no de meros conceptos, y, supuesto esto, ¿cómo podríamos tener ciencia de realidad si partiéramos de meros conceptos? Imposible. Gracias a la inteligencia sentiente estamos ya en la realidad y en ella podemos construir la matemática.
A lo largo de este punto se ha ido poniendo de manifiesto la repercusión que tiene el cambio de paradigma de la "transcendentalidad" en la filosofía de la matemática, y en qué sentido la matemática es un transcendentalismo. La base transcendental en la que se construye la matemática es un momento no de un sujeto transcendental, ni de la realidad "allende", sino de la realidad en impresión; es un momento del carácter de la formalidad "de suyo". Y el "trans" es de la formalidad campal de realidad respecto del momento individual, es un momento físico y no conceptivo; es, por último, comunicación ex-tensiva real y no comunidad universal de lo concebido. En definitiva, el ámbito transcendental de lo matemático es realidad física. Luego ¿no serán los objetos matemáticos, en cuanto construcciones transcendentales, realidades físicas? Y, por lo mismo, ¿no existirán físicamente? Volveremos un poco más adelante sobre esta cuestión.
Antes de concluir este punto es preciso destacar algo que Zubiri dice explícitamente y que, sin embargo, no ha insistido en ello en su filosofía de la matemática. Se trata del carácter de funcionalidad que tiene el ámbito transcendental. Ya nos fijamos sobre esta cuestión en el primer capítulo, a propósito de la repercusión filosófica de la noción de función matemática en el pensamiento de Zubiri, pero es preciso verlo en este contexto. La funcionalidad es el carácter intrínseco del campo. El campo es campo de funcionalidad. Esto, a nuestro modo de ver, es capital para entender la construcción matemática. Es un carácter que concreta la noción de campo. Y de este modo viene a cubrir un problema que no obviamos en la concepción zubiriana de la matemática. Respecto del campo o ámbito transcendental matemático no resulta explícito qué estructura tiene, qué papel exactamente tiene en la construcción matemática. Pues bien, he aquí algo que, de algún modo, viene en ayuda de esta dificultad y que por ello nos parece tan importante. Dice Zubiri:
"La funcionalidad, pues, no es una relación de unas cosas con otras, sino que es un carácter estructural del campo mismo en cuanto campo: unas cosas dependen de otras porque están incluidas en un campo que es intrínseca y formalmente campo funcional. (...) El campo es en sí mismo campo de funcionalidad. Sólo por ello cada una de las cosas puede depender de otras. Puede inclusive ser independiente de algunas de ellas. Independencia es un modo de funcionalidad" [29]
La funcionalidad concierne primariamente a la formalidad de realidad, no al contenido de las notas de lo real, es, por tanto, funcionalidad de lo real en cuanto real. Al ser estructura del campo es un momento dado "físicamente", esto es, sentido. Con las palabras de Zubiri volvemos a insistir en esta importante cuestión.
"El sentir humano es un sentir intelectivo, es radicalmente impresión de realidad; es algo dado "físicamente". Por tanto la intelección ulterior se mueve físicamente en esta realidad físicamente dada. La intelección no tiene que llegar a la realidad sino que está ya formalmente en ella. Ahora bien, como esta realidad se actualiza campalmente, la campalidad es un momento de la impresión de realidad. Y por tanto, la funcionalidad misma es un momento dado en impresión de realidad. Está dado como un momento formal suyo."[30]
La dependencia funcional es sentida como un momento estructural del campo de realidad como realidad. Los modos de funcionalidad son diversos. La sucesión, la coexistencia, la posición, son tipos de funcionalidad. También el espacio, la espaciosidad son tipos de funcionalidad.
"Sucesión, coexistencia, posición, espaciosidad y espacialidad, etc., son tipos de funcionalidad. No pretendo ni remotamente una enumeración completa: sólo he apelado a estos casos para ejemplificar lo que es dependencia funcional."[31]
Recordemos que en el primer capítulo decíamos que la función era el objeto básico de la matemática y que incluso S. MacLane decía que en la matemática "todo es función", pues aquí puede hallarse un fundamento filosófico que lo apoya. La matemática se construye, según Zubiri, en el momento campal de realidad cuya estructura es la funcionalidad. La base de la matemática es el campo funcional. Esto explica que la descripción de la realidad matemática no sea de tipo predicativo sino funcional. Tanto Russell como Zubiri recurren a la matemática para poner de relieve este tipo de descripción funcional de la realidad. Aún teniendo todas las ciencias por objeto la funcionalidad (y no la causalidad), ninguna como la matemática se mueve en la mera funcionalidad en cuanto tal. Queremos decir que la matemática crea sus objetos en el campo funcional con total independencia de los contenidos campalmente sentidos, mientras que las demás ciencias no crean los contenidos de la funcionalidad con total independencia de los sentidos. Por otra parte, hay que decir que el campo de funcionalidad está determinado por las cosas sentidas, y, por tanto, la matemática no es totalmente independiente de éstas. Si hablamos de independencia del contenido matemático respecto de todo lo campal es en el sentido exclusivo de su contenido concreto, sin embargo no puede hablarse de independencia respecto del campo de realidad funcional que abren las cosas dadas inmediatamente. Así la espaciosidad es funcionalidad de lo real determinada por la posición de los puntos en que consisten las cosas materiales, puntos que son un ex-de (fuera-de otros). Y la espacialidad es la estructura funcional de la espaciosidad de las cosas espaciosas, se funda en ésta.
"Las cosas reales materiales están constituidas por puntos. Cada punto está "fuera" de los demás: es un ex. Pero no es algo que está simplemente fuera, sino que es un ex que está en unidad constructa respecto "de" los demás ex puntuales de la cosa. Lo expresamos diciendo que todo ex es un "ex-de". En su virtud cada punto tiene una necesaria posición respecto de otros puntos por razón de su "ex-de". Esta cualidad de posición en el "ex-de" es lo que llamo espaciosidad. Es una propiedad de cada realidad material"[32].
Y continúa diciendo,
"Pues bien, la funcionalidad de las cosas reales espaciosas en cuanto espaciosas es el espacio: es la espacialidad. El espacio está fundado en la espaciosidad. Y esta funcionalidad pende de las demás notas de las cosas. Es decir, son las cosas las que determinan la estructura de la funcionalidad, esto es, la estructura del espacio"[33]
A continuación tratamos más detenidamente la espaciosidad como ámbito transcendental y funcional de realidad donde se construye el espacio geométrico.
1.1.3 Espaciosidad: Ambito transcendental posibilitante del espacio geométrico.
Zubiri rechaza, por un lado, la postura fisicalista que afirma que el espacio geométrico es una representación del espacio físico (así se entendió el espacio euclidiano durante siglos), y, por otro lado, la postura conceptualista que reduce el espacio geométrico a una índole conceptual.
"Ningún espacio geométrico, empezando por el propio espacio euclidiano, son en cuanto geométricos espacios físicos. Sin embargo, un espacio geométrico no es un mero concepto ni una síntesis de conceptos"[34]
Si el espacio geométrico no es intuición ni concepto, ¿qué es? En El Espacio [35], Zubiri plantea la cuestión en términos de Constructividad y Transcendentalidad, de tal modo que el espacio geométrico no es otra cosa que una construcción transcendental. El punto de partida de la construcción geométrica, según acabamos de ver, es la realidad de "lo" geométrico, o el ámbito transcendental de la realidad en cuanto espaciosa. "Lo" transcendental posibilitante de la construcción del espacio geométrico es la espaciosidad. Por tanto, el transcendentalismo geométrico significa que sin la espaciosidad no se podría construir el espacio geométrico. Y ¿qué es la espaciosidad del espacio geométrico? Es un principio estructural, no causal, que posibilita la libre construcción de estructuras espaciales. En cuanto principio transcendental (sin un contenido determinado), la espaciosidad se impone a la inteligencia con la fuerza de ob-ligarla a realizar como contenido suyo una estructura libremente construida.
"La realidad como ámbito tiene un principio estructural, no causal, que es la espaciosidad. Esta no tiene estructura, pero hace posibles las estructuras. Lo "real" de la posibilidad consiste en que "permite" que haya espacios de una u de otra estructura. Las estructuras son co-posibles. Pero la espaciosidad no sólo "permite" varias posibilidades estructurales, sino que "fuerza" a que se realice una de ellas." [36]
El espacio geométrico es la unidad de la libre con-junción de puntos con una determinada posición[37] según un fuera y un dentro. Cada punto está "fuera" de los demás: es un ex-de. El "ex" tomado en y por sí mismo, se convierte en "ámbito" físico de realidad. Zubiri lo denomina ex-tensidad, esto es, la tensidad (dar-de-sí) respectiva de aquello cuya forma de realidad es un "ex-de". La extensidad es idénticamente la espaciosidad. En ella se mueve libremente la inteligencia y construye las formas del "de", esto es, los distintos sistemas topológicos.
"En el carácter "ex-de" del punto es en donde radica formalmente la espaciosidad. El modo de unidad de aquello cuya forma de realidad es un "ex-de", es "ex-tensidad", la tensidad respectiva de aquello cuya realidad es un "ex-de". (...) Pues bien, la espaciosidad es idénticamente la extensidad de lo real. Y la estructura de la extensidad es el espacio tanto geométrico como físico. La espaciosidad, la extensidad es el principio constitutivo de que las cosas se constituyan en espacio: la espaciosidad es principio estructural de espacio."[38]
El trans de la realidad en que consiste la espaciosidad o ex-tensidad es el "ex". El "ex" es el ámbito transcendental que hace posible que la inteligencia se mueva libremente y proyecte en él unas estructuras geométricas (topológicas, afines, métricas) construidas con independencia de todo contenido campal.
"Por esto la matemática construye las estructuras geométricas (topológicas, afines, métricas) dentro de la libertad que le confiere un "ex", que es así el carácter principial de todo espacio geométrico. Es una libre construcción en la realidad misma; no es una construcción de realidad. La extensidad como principio de libertad de infinitas estructuras espaciales co-posibles es la espaciosidad geométrica."[39]
Los espacios geométricos no son construcciones de realidad sino más bien realidades en construcción. De ahí que en rigor de los términos tendríamos que denominar la postura de Zubiri, desde el punto de vista de la naturaleza del objeto matemático, no tanto Constructivismo Transcendental, sino Transcendentalismo constructivo. Así pues, el espacio geométrico es la espaciosidad o extensidad, dada físicamente como ámbito transcendental, con una estructura libremente construida. Los distintos contenidos posibles de la espaciosidad constituyen las distintas Geometrías. Se ve, pues, que todos los espacios geométricos son posibilidades reales y no meramente lógicas. Son construcciones en "la" espaciosidad.
"La espaciosidad geométrica presenta tres tipos de estructuras: conjuntos en los que los puntos están unos "junto-a" los otros; en "dirección-hacia" y "a-distancia-de". Estas tres estructuras no son intuitivas ni puramente conceptivas; son estructuras dentro del ámbito de realidad. De modo que no se trata de una construcción de realidad, sino de una realidad en construcción."[40]
No entramos en el análisis del espacio físico por no ser objeto de la matemática sino de la ciencia física. Basta aquí la idea de que la espaciosidad o extensidad es el principio real tanto del espacio físico como del espacio geométrico, del primero como principio de libre construcción, del segundo como principio de libre movilidad. La espaciosidad como principio real común justifica el isomorfismo entre el espacio geométrico y físico. Esta es una ventaja del constructivismo transcendental de Zubiri respecto de otras filosofías de la matemática. Esto es crucial.
"La extensidad hace posible el cambio respectivo y por tanto el espacio físico, y hace posible también la libre construcción del espacio geométrico, así como hace posible el isomorfismo entre ambos."[41]
La espaciosidad o extensidad espacial es un momento de la transcendentalidad o extensidad transcendental, ahora bien, es preciso matizar que ésta no se reduce totalmente a aquélla. La espaciosidad es la primera y primaria forma de transcendentalidad, esto es, de apertura de lo real en cuanto real. En ella se fundan otras formas de transcendentalidad: la dis-tensidad (el ex consiste en estar "después-de"), in-tensidad (forma de reversión del ex al in ), la pre-tensidad (fuera-de sí pretendiendo) y la obs-tensidad (alteridad en impresión). Ninguna de estas formas sería posible sin la extensidad espacial. Por ello puede hablarse de una dimensión matemática en todo lo real, pero sólo en el sentido primario y básico, y no como constituyente esencial de la realidad de las cosas (y menos de las personas).
"Dentro de este sistema, la ex-tensidad espacial tiene un rango primario y fundante, porque todo otro modo de extensidad transcendental es posible tan sólo fundado en el modo primario de la extensidad transcendental, que es la extensidad espacial. El fundamento no está en el carácter de la espaciosidad del espacio, sino en el carácter transcendental de la espaciosidad."[42]
En síntesis, la extensidad como ámbito transcendental constituye el principio estructural de libre construcción, de libre movibilidad y de libre inteligibilidad. Es la realidad el principio fundante, posibilitante e impelente de todo cuanto existe y cuanto el hombre intelige y construye.
"La inteligencia en este esfuerzo dentro del ámbito de lo real fundado en extensidad y no limitado a lo extenso, va desplegando sus creaciones libres, libres de lo que las cosas reales son, en el ámbito de realidad en que su ex consiste, y liberadas de lo que son determinadamente en cada caso. Todo producto cultural está adscrito a la extensidad y surge en función de ella; la extensidad es "a una" el fundamento primario y estructural de la realidad del cosmos en cuanto realidad. Es "a una" el momento estructural y primario de la intelección y de su verdad." [43]
Zubiri al cambiar de paradigma de transcendentalidad se opone sobre todo al idealismo transcendental de Kant, así vemos que la espaciosidad para el primero es ámbito transcendental de realidad, mientras que para el segundo el espacio (no distingue espacio y espaciosidad) es una forma a priori del sujeto transcendental. La idealidad del espacio y del tiempo es la clave de todo el idealismo trascendental de la matemática del Constructivismo sensible. Según esta concepción, espacio y tiempo no son conceptos sino intuiciones puras, pues su carácter es único, sólo hay un espacio y un tiempo, aunque podamos distinguir distintas partes en cada uno. No son ninguna propiedad de las cosas, ni en sí mismas ni en sus relaciones; no existen independientes de nosotros; su carácter es ideal y son la condición subjetiva de la sensibilidad, el espacio de la externa y el tiempo tanto de la externa como de la interna.
Para Kant, la idealidad del espacio hace posible la geometría y la idealidad del tiempo, la aritmética. Sólo por ser el espacio y el tiempo intuiciones puras, es posible construir los juicios sintéticos a priori de la matemática. La geometría y la aritmética establecen las propiedades del espacio y del tiempo sintéticamente, por ser éstos intuiciones; pero no a posteriori sino a priori, por ser formas a priori de la sensibilidad. De esta idealidad del objeto de la matemática resulta su carácter apodíctico de todo cuanto se diga sobre él. Por ejemplo, Kant dirá que es necesario que el espacio sólo tenga tres dimensiones. Como no son juicios empíricos o de experiencia, nunca podrán ser refutados por ella. Las verdades matemáticas gozan de un carácter universal y necesario. El progreso de esta ciencia será acumulativo. Dice Kant:
"La geometría es una ciencia que establece las propiedades del espacio sintéticamente y, no obstante, a priori. ¿Cuál ha de ser, pues, la representación del espacio para que sea posible semejante conocimiento del mismo? Tiene que ser originariamente una intuición, ya que de un simple concepto no pueden extraerse proposiciones que vayan más allá del concepto... Esa intuición tiene que hallarse en nosotros a priori, es decir, previamente a toda percepción de objetos, y, consiguientemente, ha de ser una intuición pura, no empírica. En efecto, las proposiciones de la geometría son todas apodícticas..."[44]
Zubiri opone a la idealidad de la matemática su realidad. Parte de que la ciencia matemática no es un conjunto de juicios sintéticos a priori sino una forma de actualización de la realidad. Además la condición de posibilidad de la matemática es la realidad, el único apriorismo, si queremos usar el término, es la realidad misma como prius , "de suyo" respecto de la aprehensión. Por tanto, espacio y tiempo no son "a priori" de la realidad sino que se fundan en ésta. No son independientes de las cosas. No es la idealidad fundamento de la realidad. Espacio y tiempo no son estructuras trascendentales del sujeto, prueba de ello es su pluralidad. Dice Zubiri:
"Contra lo que Kant pretendía, cada espacio no es fragmento del espacio único, sino que el espacio es constitutivamente plural. Los espacios, además, son plurales según las estructuras que tengan. Con la agravante de que muchas de estas estructuras son incompatibles entre sí"[45]
Mientras que Kant considera el espacio como una intuición pura y sin estructuras, Zubiri dice que el espacio no es algo vacío y amorfo sino que tiene estructuras, incluso incompatibles; rechaza totalmente el apriorismo del espacio defendido por el primero. El espacio está en función de las cosas en cuanto espaciosas.
"No hay espacio a priori, sino que el espacio pende del comportamiento de las cosas; está fundado en ellas, no es absoluto"[46]
Para Zubiri la espaciosidad es ámbito de realidad posibilitante de la libre construcción, y, dejando aparte que no es lo mismo que espacio, no es una forma a priori de la sensibilidad. La sensibilidad o impresión se funda en la espaciosidad. Sólo hay impresión de lo que de un modo u otro está inscrito en la espaciosidad (algunos modos de la espaciosidad de la realidad son la ocupación —en los cuerpos—, la definición —en la psique— y la presentidad—la personeidad—). La respectividad entre realidad e inteligencia es lo que posibilita la actualización de la realidad en la inteligencia, y, dado que la respectividad de la realidad es extensividad, es ésta la que posibilita la intelección. La transcendentalidad de la realidad o formalidad de realidad en cuanto comunicación ex-tensiva real es el fundamento del conocimiento matemático, y en general de la intelección. Un texto que nos parece clave para contraponer el realismo trascendental (Zubiri) al idealismo trascendental (Kant) es el siguiente:
"Esto no significa que el espacio sea, como quería Kant, una forma de intuición pura a priori, en primer lugar porque no se trata del espacio sino de la espaciosidad, diferencia que como hemos visto es fundamental; y en segundo lugar porque la sensibilidad es formalmente impresión y el supuesto mismo de la impresión es la espaciosidad. La condición primaria de toda la aprehensión física de la realidad es la ostensividad en un ex, en el que coinciden las cosas y el hombre como realidad material. Lo intuitivo es consecuencia de lo ostensivo en impresión y la ostensión impresiva sólo puede darse en extensidad, porque justo el hombre comparte homogéneamente esta condición con la realidad física"[47]
1.2. El objeto matemático: constructo transcendental.
1.2.1 Objeto matemático: Realidad "en construcción"
Un grave problema de la epistemología matemática es la cuestión de si el objeto matemático es una libre postulación, o construcción, cómo puede tener algo que ver con la realidad o ser él mismo real. Pues bien, en la filosofía de la matemática de Zubiri, el Trascendentalismo se concilia con el Constructivismo. No hay oposición entre el carácter transcendental y el carácter construido del objeto matemático. De tal modo que el objeto matemático es un constructo transcendental. Esta conciliación es posible porque el trancentalismo matemático no afirma que el contenido de la realidad matemática sea dado, ni transcendente. El ámbito transcendental de realidad, decíamos, nos deja en libertad para determinar su contenido concreto que siempre es una opción creada e histórica. Por razón de su contenido hay que afirmar, según Zubiri, que la matemática es una obra tan creativa como la literatura de ficción. Pero en cuanto construcción (aplicación del contenido "según conceptos") en el ámbito transcendental es realidad. Los objetos matemáticos son construcción en el momento transcendental de "la" realidad sentida en aprehensión primordial, y, por tanto, no son objetos ideales sino que son objetos reales. Pero insistimos que se trata de realidad en impresión. No es realidad transcendente, sino realidad transcendental.
La construcción de las distintas geometrías ha invalidado el realismo clásico en matemáticas, por ello proliferan toda clase de posturas no-realistas. Ahora bien, ¿qué entienden por realidad? El convencionalismo, el instrumentalismo y el irracionalismo, atienden meramente al contenido, y suponen un concepto de realidad concipiente: realidad es zona de cosas que está más allá de nuestras impresiones. Pero, según Zubiri, la realidad es un momento de formalidad y no de contenido. La innovación de Zubiri para resolver esta cuestión y mantener un realismo que salve todas las dificultades que la nueva matemática plantea, consiste en partir de una inteligencia sentiente que hace la distinción entre formalidad de reidad y contenido de realidad. Sería contradictorio afirmar que la matemática es libre creación y que su objeto es real si se refirieran ambas cosas al contenido de la realidad, único aspecto tenido en cuenta por la inteligencia concipiente. Ahora bien, el realismo hace referencia a la formalidad, y la libre postulación se refiere al contenido de la realidad. La tesis realista de la matemática se fundamenta en el momento de formalidad de realidad que nos es dado en la aprehensión primordial de realidad, y que es el mismo momento de realidad en el campo y en el mundo. En la matemática no creamos la realidad, ésta nos es dada por las cosas reales sensibles, creamos meramente el contenido de realidad. De ahí que Zubiri repita insistentemente que el objeto matemático no es construcción de realidad sino realidad en construcción. Las realidades matemáticas son, pues, realidades postuladas. Este término es equivalente a nuestra denominación de constructos transcendentales. Si preferimos éste es porque caracteriza más específicamente la aportación de Zubiri, e incluso creemos que evita la polémica que despierta hablar de realidades postuladas, porque al oir el vocablo "realidad" de modo inconsciente nos deslizamos a un paradigma de realidad transcendente y sensible, y ya hemos advertido que no es el zubiriano.
Sólo si partimos de un paradigma de realidad, como realidad sensible o realidad con un contenido dado, podemos negar el carácter de realidad a lo matemático. El situarnos meramente en la vía del contenido de la realidad es lo que nos lleva a preguntarnos: ¿las realidades postuladas son ellas mismas realidad o no lo son? Esto es claro si abandonamos la perspectiva de inteligencia concipiente y nos situamos en la perspectiva de inteligencia sentiente o en la vía de la formalidad de realidad. En efecto, la inteligencia sentiente aprehende de modo sentiente las cosas reales tanto en su formalidad como en su contenido. No es lo mismo realidad y contenido. Esta distinción nos permite sostener que los objetos sensibles y los objetos matemáticos son reales en la misma formalidad de realidad, no obstante, ser diferentes sus contenidos. En los objetos sensibles nos está dado tanto la formalidad de realidad como su contenido, mientras que en los objetos matemáticos nos está dada la formalidad de realidad (es la de cualquier cosa sensible) y libremente construido su contenido. Por tanto, el objeto matemático es real, si bien, claro esta, realidad en construcción (idénticamente podría decirse realidad en postulación , o realidad en libertad ) .
Del mismo modo que en su concepción hay una ampliación del paradigma de sentir respecto de la tradición filosófica y no sólo se siente lo sensible, sino que se siente lo real; vemos que hay una ampliación también del paradigma de realidad respecto de la tradición filosófica. Realidad física no es meramente realidad sensible o transcendente, sino que realidad es formalidad "de suyo", cualquiera que sea el carácter de su contenido, si es dado tenemos realidades "en y por sí mismas", y si es construido tenemos realidades "en y por postulación", pero en ambos casos la formalidad de realidad, el carácter "de suyo" es idéntico. Zubiri no conceptúa la realidad en la línea del contenido sino en la línea de la formalidad. Y el resultado es una mayor amplitud del término.
Reflejamos esquemáticamente este cambio paradigmático de la concepción de la realidad, operado por la sustitución de la inteligencia sensible por la inteligencia sentiente. Es de suma importancia para la filosofía de la matemática.
Paradigma de realidad desde
inteligencia sensible
Paradigma de realidad desde
inteligencia sentiente
La realidad sensible
lo transcendente
La física formalidad de realidad.
lo transcendental
Zona de cosas "fuera" de la impresión
formalidad "de suyo"
(sea su contenido sensible o postulado)
Realidades "en y por sí mismas"
Realidades "en y por sí mismas"
realidades "en y por postulación"
Objeto de impresión sensible.
Objeto de impresión transcendental.
Hay que añadir que el término "realidad" no lo emplea Zubiri en sentido equívoco respecto de la tradición filosófica. "Realidad" conserva el sentido de lo físico, frente a lo conceptivo. Es independente del sujeto, frente al un mero producto suyo. Nos impresiona impositivamente, frente a lo concebido libremente. Está ante la inteligencia, frente a lo meramente puesto por ella. Todos estos caracteres se encierran en el término denominado por Zubiri "de suyo" o "en propio". Desde inteligencia sensible o concipiente (que sólo se fija en el contenido) sólo sería aplicable a las realidades "fuera" del sujeto, sin embargo, desde inteligencia sentiente (que se fija en la formalidad de realidad) es aplicable tanto a las realidades "allende" el sujeto, como a las realidades "en" el sujeto. La razón está en que la inteligencia es sentiente, esto es, su acto es impresión de realidad. En la aprehensión primordial de realidad aprehendemos los contenidos sensibles en formalidad de realidad. Esta formalidad "de suyo" tiene carácter físico, es independiente de la inteligencia, y se nos impone con una fuerza propia. Por ello decimos que la inteligencia está en la realidad de las cosas reales y que se mueve inexorablemente en ella. Pues bien, cuanto construyamos o inscribamos en esta formalidad de realidad, será "de suyo", "en propio". Todo lo que la inteligencia piense o imagine en "la" formalidad de realidad dada en aprehensión primordial es real. Y si las realidades sensibles son realidades no se debe a su carácter sensible sino a su formalidad "de suyo", y en esto coincide con las realidades matemáticas, que aunque tienen un contenido construido en cuanto que éste está realizado en "la" realidad tiene propiedades "de suyo" (Teorema de Gödel). Las notas matemáticas que se me imponen tampoco son "en y por sí mismas" sino "por la realización de otras notas" construidas en "la" realidad.
El contenido libremente creado según conceptos de lo matemático no es como tal realidad, sino que cobra realidad porque su construcción es transcendental, esto es, se proyecta este contenido en la realidad campal o ámbito transcendental. Sólo la construcción de inteligencia sentiente es construcción transcendental, porque sólo una inteligencia sentiente puede sentir la formalidad de realidad. Y el resultado de la construcción transcendental "segun conceptos" es realidad en concepto, pero siempre realidad, es decir, algo que en cuanto realizado tiene una autonomía "en" el sujeto, "queda" en formalidad "de suyo" ante la inteligenica. Por el contrario, las construcciones de inteligencia concipiente son meras construcciones mentales o conceptivas. De una construcción sensible o concipiente resultan los contenidos objetivos de conceptos. Por tanto, el que los objetos matemáticos sean realidad postulada no significa que sean conceptuales, sólo quiere decir que el contenido está libremente construido en la realidad física dada en impresión; esta construcción es la postulación. En la línea del contenido, se construye; en la línea de la formalidad de realidad se está.
La cuestión de la naturaleza del objeto matemático reviste tal gravedad que, igual que hicimos con "el modo de sentir la matemática", a continuación recogemos las ideas fundamentales a modo de tesis sustentadas por los textos del propio Zubiri desde su perspectiva del Constructivismo Transcendental.
1. Los objetos matemáticos no son objetos ideales, sino que son reales. Más aún no hay objetos ideales: todos los objetos de la inteligencia sentiente son reales porque se inscriben en la formalidad de realidad dada impresivamente. Lo denominado "ideal" es el ámbito transcendental de realidad construido en su contenido "según conceptos".
"Es usual llamar al objeto de la matemática ‘objeto ideal’. Pero no hay objetos ideales; los objetos matemáticos son reales.. Lo que tan impropiamente se llama ideal es lo real construido según conceptos. Tanto la existencia como las propiedades están postuladamente construidas en "la" realidad". [48]
2. Los objetos matemáticos no son mero sistema de verdades coherentes, sino que son objetos reales. Los postulados matemáticos no son meros enunciados lógicos, sino que enuncian los caracteres del contenido de lo real postulado.
"lo que los postulados postulan no es "verdad" sino "realidad"; lo postulado es la realidad de lo que se postula. Si se quiere hablar de verdades, habría que decir que los postulados enuncian la "verdad real" de lo postulado. Es decir, los postulados no son meros enunciados lógicos sino enunciados de los caracteres que tiene el "contenido" de la "realidad" de lo postulado" IL 129
3. Los objetos matemáticos no son algo intermediario entre las puras ideas y la realidad sensible. Los objetos matemáticos no son realidades sensibles porque su realidad es el momento de transcendentalidad del ámbito de realidad de las cosas aprehendidas sentientemente. Y no son ideales porque se inscriben en el momento "físico" de realidad. Tienen la misma realidad que las cosas sensibles, aunque su contenido no sea sensible.
"Los objetos matemáticos no son, pues, algo intermediario entre las puras ideas y la realidad sensible, porque la realidad de los objetos matemáticos es el momento de transcendentalidad que tiene el momento "físico" de realidad como ámbito en el cual están constituidas las cosas y dentro del cual se mueve la inteligencia humana. Y tampoco son objetos ideales, porque están inscritos en un momento físico de realidad. Los objetos matemáticos son determinaciones construidas dentro del momento "físico" de realidad y precisamente por el momento de realidad como ámbito"[49]
4. Los objetos matemáticos no son reales como las cosas sensibles. Las realidades matemáticas no son sensibles, por eso no tropezamos con ellas, ni podemos pesarlas, medirlas, etc. Pero ¿sólo las realidades sensibles son realidades físicas? No. los objetos matemáticos son realidades físicas aunque no sean sensibles.
"Es cierto que un espacio geométrico o Don Juan no son cosas reales en la misma forma en que lo es un vaso de agua. Pero ¿funcionan por así decirlo como algo pura y simplemente no-real? De ninguna manera" [50]
5. La "física" formalidad de realidad de los objetos matemáticos es la misma que la de las cosas sensibles aprehendidas en impresión sensible. La diferencia entre las cosas sensibles y los objetos matemáticos está en el contenido de realidad. El contenido de las primeras está dado impresivamente, por ello son reales "en y por sí mismas", y el de los segundos está libremente construido, son reales "en y por postulación".
"Los objetos de la matemática son "objetos reales", son objetos en la realidad, en esta misma realidad de las piedras o de los astros; la diferencia está en que los objetos matemáticos están postuladamente construidos en su contenido. La piedra es realidad en y por sí misma; un espacio geométrico o un número irracional son realidad libremente postulada" [51]
Con un ejemplo, el número irracional se inscribe numeralmente en la misma formalidad de realidad que un color. Recordemos que el color además de una formalidad individual tiene una formalidad campal de realidad que es "más" que este color determinado, y precisamente por ser ámbito transcendental se puede proyectar en él un número irracional.
"El número irracional no se aprehende como un color, pero al igual que el color es aprehendido en la misma formalidad de realidad, en la misma impresión de realidad en la que es aprehendido el color. El número irracional no es igual que un color, pero es real en la misma formalidad de realidad en la que es real el color. Es en ambos casos numeralmente la misma formalidad de realidad."[52]
6. El objeto matemático es real por ser construcción de la inteligencia sentiente, esto es construcción transcendental. Consiste en la realización del contenido objetivo en "la" realidad aprehendida en aprehensión primordial. Por eso el objeto matemático no es contenido de un concepto objetivo, sino que es contenido "según conceptos" de realidad y por tanto, realidad en concepto.
"La construcción matemática es siempre por tanto un acto de inteligencia sentiente. Y por tanto el objeto matemático tiene realidad postulada. No es un concepto objetivo de realidad sino que es realidad en concepto. Es, insisto, la realidad misma de cualquier cosa real sentientemente aprehendida pero con un contenido libremente construido en dicha realidad según conceptos."[53]
7. El constructivismo transcendental es un realismo frente al constructivismo intuicionista y el axiomático-formalista que son conceptismos. El constructivismo transcendental considera que los postulados postulan el contenido de "la" realidad, no postulan meramente verdad.
"Y desde este punto de vista [la realidad de lo matemático] axiomatismo formalista y intuicionismo no se oponen, porque ambos consisten tan solo en la determinación de contenidos objetivos de conceptos. Pues bien, construir es otra cosa; es crear, es proyectar libremente en "la" realidad física un contenido según conceptos. Postular es postular realidad" [54]
8. La realidad del objeto matemático por un lado no es "en y por sí misma", y por otro lado no se debe a su mera definición o ejecución. El objeto matemático es real por postulación constructiva en "la" realidad.
"Por tanto un objeto matemático no es real por su mera definición ni por su ejecución, pero tampoco es un objeto real en y por sí mismo como las cosas aprehendidas en impresión sensible. Es algo real por un postulado que realiza un contenido (notas y existencia) libremente determinado gracias a la postulación" [55]
9. Y, por último, el objeto matemático construido postuladamente es una estricta realidad porque tiene propiedades "de suyo", "en propio", que no son deducidas de los axiomas o postulados, sino que están formalmente en el objeto y se nos imponen.
"Y en este sentido, todo objeto matemático está construido postuladamente. Por esto es por lo que el objeto así construido es una estricta realidad que puede tener propiedades o notas "suyas", "propias", y no sólo propiedades "deducidas" de los axiomas o postulados. No se trata de propiedades deducidas sino de propiedades que están ya formalmente en el objeto. Los objetos matemáticos tienen sus propiedades "de suyo", es decir son "reales"[56].
Y continúa recurriendo al Teorema de Gödel para corroborar su filosofía de la matemática con los propios resultados de la matemática (dada su enorme relevancia le dedicaremos un apartado posterior).
"Es que el objeto real postuladamente realizado según conceptos tiene, por estar realizado, más notas o propiedades que las definidas en su postulación. Por esto y sólo por esto es por lo que plantea problemas que pueden no ser resolubles con el sistema finito de axiomas y postulados que han definido su realización. Lo construido en "la" realidad es, por estar realizado, algo más que lo postulado al realizarlo. Es a mi modo de ver el alcance del teorema de Gödel."[57]
1.2.1 1 Cosa Libre: Realidad y libertad en el objeto matemático.
La línea de filosofía de la matemática de Zubiri, que hemos denominado constructivismo transcendental, concede a los objetos matemáticos el estatuto peculiar de cosas libres, frente a las cosas mentales y a las cosas físicas. Los objetos matemáticos no son cosas físicas, pero tampoco son meras cosas mentales. Esta es una diferencia fundamental entre el nuevo constructivismo de Zubiri y otros constructivismos matemáticos. Por ello al primero conviene la caracterización de Transcendental para distinguirlo de estos otros. Las siguientes palabras de Roger Apéry expresan claramente esta diferencia entre el constructivismo de Zubiri y otros constructivismos.
"De acuerdo con la concepción constructivista, no existen matemáticas sin matemáticos. En tanto que entes de razón, los entes matemáticos sólo existen en el pensamiento del matemático y no en un mundo platónico independiente de la mente humana"[58]
La primera afirmación, a la luz de la filosofía sentiente de la matemática, es verdad a medias. La verdad total es que no existen matemáticas sin matemáticos y sin "la" realidad. En segundo lugar, los objetos matemáticos no son entes de razón sino que son realidades postuladas, cosas libres. La libertad (y no total) está en la creación de su contenido, no en su realidad. En tercer lugar, el objeto matemático, en cuanto cosa libre (realidad "en construcción"), ciertamente no puede existir "en un mundo platónico independiente de la mente humana", pero tampoco es correcto que "sólo existen en el pensamiento del matemático". Desde el Constructivismo Transcendental, el objeto matemático es independiente no de la mente humana, sino independiente en la mente humana. La diferencia es fundamental. En efecto, los objetos matemáticos por ser cosas libres, no están "fuera" de la mente humana, pero no son inmanentes, sino transcendentales. Están realizados en el momento físico de transcendentalidad de la formalidad campal de las cosas reales aprehendidas en aprehensión primordial. Los objetos matemáticos no están en un mundo platónico transcendente, de modo que el matemático los va descubriendo; sino en un mundo transcendental, y el matemático los descubre creándolos y los crea descubriéndolos. Zubiri al denominar a los objetos matemáticos cosas libres se aparta por un lado del fisicalismo y por otro del mentalismo. La libertad con la que construimos los objetos matemáticos nos aleja del fisicalismo, pero al no ser libertad de la realidad, sino realidad en libertad (la formalidad se nos impone con la necesidad de tener que dotarla de un contenido libre) nos aleja igualmente del mentalismo.
"Lo real entonces no es cosa como las cosas inmediatamente sentidas, pero tampoco es una mera cosa mental: es cosa libre. Cosa libre, consiste en que la realidad, al ser "de suyo", sea libremente esto o lo otro. La construcción, pues, no es libertad de realidad, sino realidad en libertad".[59]
Zubiri habla de cosas mentales, mas en su concepción, en sentido propio, no hay nada mental puesto que las simples aprehensiones (perceptos, fictos y conceptos) de lo que la realidad "sería" no son simples ideas sino que son el contenido de "la" realidad, por consiguiente hay que hablar de realidad en percepto, de realidad en ficto y de realidad en concepto. Los objetos matemáticos como cosas libres, son irreales realizados en "la" realidad campal. La cosa libre no es una cosa mental tratada como si fuera real, tampoco es cosa física; es realidad física porque está constituida en la formalidad de realidad dada sentientemente.
"Cosa libre es la realidad física con un libre contenido postulado. Tales son los objetos matemáticos: son objetos reales constituidos en el momento físico de "la" realidad campal, la misma realidad según la cual son reales las cosas como esta piedra." [60]
Cuando Zubiri habla de la realidad física de los objetos matemáticos, no hay que entenderlo como cosa física, este término hace alusión al contenido dado impresivamente. Y en lo matemático su realidad física es el momento físico de "la" realidad campal en el que se construyen (o constituyen) los objetos matemáticos. No es el contenido primariamente lo físico, sino la formalidad de realidad campal que nos es dada impresivamente en la aprehensión primordial de realidad por cada cosa (de forma compacta con la dimensión individual de la formalidad). El contenido de lo matemático será físico en tanto que realizado en esta realidad física, no "en y por sí mismo". Por tanto, la naturaleza del objeto matemático es cosa libre o irreal realizado o realidad postulada. "A su modo" tienen realidad ante la inteligencia; están ante nuestra inteligencia porque ella lo ha realizado al construir por postulación un contenido en la realidad sentida. La inteligencia no se limita a inteligir lo que está ya ante ella sino que también realiza ante ella otros objetos que tiene que conocer con gran esfuerzo.
Vemos sintéticamente la diferencia de los objetos matemáticos (cosas libres), de las cosas físicas, de las cosas mentales y de las cosas Ideales (concepción platónica).
1.- Cosa Ideal: Mundo Transcendente, Ideas, intuición intelectual, inmediatamente captada como real, contenido real, reales "en sí".
2.- Cosa Física: Mundo Físico, por ejemplo un vaso de agua, impresión sensible, inmediatamente sentida como real, contenido real, realidad "en y por sí misma".
3.- Cosa libre: Mundo transcendental, por ejemplo el espacio geométrico, impresión transcendental, creada y realizada, contenido irreal pero realizado, realidad "en y por postulación".
4.- Cosa mental: Mundo mental, conceptos objetivos, concepción, meramente creada, contenido irreal, irrealidad.
Bien puede decirse, como pensaba Cantor, que la matemática es la actividad más libre del ser humano. ¿Es compatible la libertad y la realidad en la construcción matemática? Hemos visto que sí. La postura de Zubiri en su concepción de la matemática es realista, sin embargo, no es un realismo de ninguno de los tipos que nos ofrece la tradición filosófica. Los llamados realismos ingenuo o crítico se basan en una idea de realidad concipiente, mientras que el realismo trascendental de Zubiri se basa en una idea sentiente de realidad. La diferencia es esencial. En la filosofía griega y medieval se afirma que las cosas reales del mundo se hacen presentes a la inteligencia en su misma realidad mundanal, lo cual para Zubiri es rigurosamente insostenible y formalmente absurdo. Las cosas reales del mundo no tienen por qué estar presentes en cuanto tales en la intelección. Se trata de la formalidad de realidad y no de realidad transcendente. El realismo crítico considera que las cualidades primarias son reales, mientras que las cualidades secundarias son subjetivas o psicológicas. Así Galileo, Descartes y Locke defienden las propiedades matemáticas, cualidades primarias de las cosas, como reales fuera de nosotros, y, a la vez, el subjetivismo de las cualidades sensibles o secundarias de las cosas. Zubiri denomina al realismo crítico, un pseudo-realismo. Insistentemente recalca que realidad no es una zona de cosas, sino que es tan sólo una formalidad. La inteligencia concipiente resbaló sobre el momento de realidad como "de suyo" o " en propio" y ha conceptuado la realidad como zona de cosas. Este es el defecto común de todos los realismos tanto ingenuos como críticos: haber conceptuado la realidad como una determinada zona de cosas "allende" la percepción. En inteligencia sentiente tan realidad es la realidad "allende" la percepción como la realidad "en" la aprehensión, la razón está en que ambas son "de suyo", un "prius" respecto de la aprehensión misma. Ambas zonas son idénticas en cuanto "de suyo". Es distinto lo que es "de suyo", el contenido. Ya dijimos que tan real es esta hoja como el número irreal, sólo difieren en el contenido, en el primer caso es "en sí y por sí mismo" y en el segundo es postulado en sus notas y en su existencia.
1.2.2 Existencia matemática: la nuda realización del contenido.
El primer Zubiri, como Husserl, no distingue entre realidad y existencia. La reducción fenomenológica consiste en poner entre paréntesis la realidad o existencia del fenómeno quedándonos sólo con su contenido. Al prescindir de la realidad o existencia el resultado es la idealidad. Nos dice Zubiri:
"El matemático considera una serie de entes que nada tienen que ver con el mundo de las existencias. Mejor que posibles, las esencias son seres virtuales". [61]
Por el contrario, en su etapa metafísica, Zubiri distingue tajantemente realidad y existencia. Ya hemos dicho que existencia y notas pertenecen tan sólo al contenido de lo real. La realidad consiste en que ese contenido existencial y de notas lo sea "de suyo". Siempre estamos instalados en la realidad, no se puede "poner entre paréntesis" este carácter. Lo que la fenomenología denomina reducción no puede hacerse en la línea de la realidad, sino únicamente es posible está en la línea del contenido; cuyo resultado nos deja en la realidad, pero como ámbito transcendental (liberado de estas determinadas notas y de esta determinada existencia). Esta "irrealización" es la que nos permitirá la realización del contenido creado de la matemática, tanto de sus notas como de su existencia.
Entonces ¿existen los objetos matemáticos? De hecho en matemáticas se habla de teoremas de existencia. Pero ¿cómo existen los objetos matemáticos, por ejemplo los números irracionales? Es evidente que no existen como esta piedra: no tropezamos con objetos matemáticos y sí con piedras. Por tanto, hay que hacer la distinción entre las cosas como esta piedra que tienen existencia "en y por sí misma" , y los objetos matemáticos que tienen existencia "en y por postulación". Existencia significa en la matemática la realización del contenido en "la realidad campal, porque la realización de una nota en función de la realización de otras envuelve una existencia postulada.
"...cuando en la matemática se formula un teorema de existencia (por ejemplo, la existencia de una raíz en toda ecuación algebraica, o de una integral en una ecuación diferencial ordinaria, o la no existencia de una ecuación algebraica que tenga como raíz el número e), existencia significa la nuda realización de una nota en virtud de la realización de otras notas. Como la nuda realización de estas notas envuelve una existencia postulada, entonces la nuda realización del contenido es la que con toda razón se llama existencia matemática"[62]
Y continúa:
"Es siempre cuestión de realización pero no en el sentido de identificar realidad y existencia física en y por sí misma." [63]
Por lo mismo que los objetos matemáticos no son objetos ideales sino que son realidades postuladas, no tienen tampoco existencia ideal sino existencia libremente postulada en "la" realidad. La existencia concierne al contenido de realidad igual que las notas. La diferencia entre la existencia de los objetos matemáticos y la de las piedras está en el contenido, en el primer caso es libremente postulada y en el segundo es dada "en y por sí misma".
"...los objetos matemáticos son reales. Esto no significa, lo repito insistentemente, que los objetos matemáticos existan como existen las piedras, pero la diferencia entre aquéllos y éstas concierne sólo al contenido, un contenido en el primer caso dado, libremente postulado en la realidad en el segundo. Por tanto los objetos matemáticos no tienen existencia ideal sino solamente existencia postulada, postulada pero en "la" realidad."[64]
En el ámbito transcendental estamos en la realidad sin unas determinadas notas y existencia. Esta es la base metafísica que nos permite construir tanto las notas como la existencia por libre postulación. En este punto se ve la doble dimensión de la construcción transcendental del objeto matemático:
1. construimos en "la" realidad unas notas libremente creadas, y
2. construimos en "la" realidad una existencia postulada para esas notas.
Los objetos matemáticos, en cuanto constructos transcendentales, son reales y existentes, esto es, son realidades existentes en "la" realidad por postulación constructiva. Aquí queríamos llegar.
1.2.3 Un objeto matemático y un personaje de literatura de ficción: ¿son realidades existentes del mismo modo?
La respuesta a esta pregunta despliega toda la potencialidad de la construcción transcendental. Matemática y Literatura de ficción ya quedaron al mismo nivel en cuanto construcciones sentientes. Ahora, desde la perspectiva de sus objetos, nos preguntamos, por ejemplo, un número irracional ¿tiene la misma realidad y existencia que la que pueda tener D. Quijote de la Mancha? Fácilmente suele pensarse que Don Quijote, puesto que es una libre creación de la mente genial de Cervantes, no es real y no existe a no ser en la mente de su creador, o en la mente de los lectores, mas no en la realidad. Es una pura construcción mental o pura ficción. Pero, desde inteligencia sentiente, esto no es así. Tanto las construcciones matemáticas como las construcciones de la literatura de ficción son construcciones transcendentales, esto es, construcciones en "la" realidad. Por consiguiente, no sólo los números irracionales, sino también D. Quijote e incluso un centauro son reales como esta piedra. Su realidad es idéntica, es el momento de transcendentalidad de la física campalidad de lo real aprehendido sentientemente. En lo que difieren es en sus contenidos y en su modo de realidad. Puede hablarse también, como en el caso de la matemática, del transcendentalismo de la literatura de ficción. Así pues, desde otro punto de vista, se confirma la tesis zubiriana de que el mundo transcendental está a la base de todo.
Zubiri no dice que el contenido de un personaje ficticio o de un monstruo fabuloso sea real. La realidad es sólo y siempre donada. Lo que la inteligencia hace es construir transcendentalmente, esto es, realizar el contenido libremente creado en la realidad. Las libres ficciones, en cuanto constructos transcendentales, ya no son meras ficciones sino realidades en ficción.
"No se trata de que yo considere libremente que este contenido es real, sino de que, justamente al revés, yo considere libremente que la física realidad campal "es así", esto es, tenga este contenido determinado. Por ejemplo, lo real en la ficción no consiste en fingir realidad, sino que, como veremos en seguida, consiste en ser realidad en ficción; lo que fingimos es el contenido de la realidad."[65]
Lo novelado por ser construcción transcendental, es decir, por ser novelado en la realidad, es estricta realidad, y como tal tiene más propiedades que las meramente creadas por su autor, son nuevas propiedades "de suyo", "en propio". De ahí que se discutan si ciertas características son propias de un personaje o no. En el caso de D. Juan, si es afeminado o no; y en el de D. Quijote, si realmente estaba loco o no.
"Pero una novela por ejemplo, no nos dice lo que "sería la realidad", sino que a su modo, noveladamente, nos dice lo que "es realidad". Por eso la novela está llena de propiedades o notas muy distintas de las que inicialmente se han atribuido a sus personajes o a sus situaciones. Es que lo novelado, por el hecho de ser novelado en la realidad, tiene más propiedades que las formalmente enunciadas en un principio. Así se puede discutir perfectamente acerca de si ese personaje de ficción que es Don Juan es o no es un personaje afeminado". [66]
Ciertamente, el novelista al realizar ciertas propiedades de sus personajes en unas situaciones concretas, se ve con posterioridad él mismo "arrastrado", "llevado" por sus personajes, de modo tal que podemos decir que éstos se le acaban imponiendo según su propia realidad. Esta constatación (que podemos experienciar cualquiera) es lo que lleva a Zubiri a afirmar que los juicios de ficción, aunque evidentemente no son juicios de personajes que pasean por la calle, tampoco son una mera ficción, sino que "a su modo" son reales y existentes.
"Este ‘es’ expresa una realidad no como la de esta piedra, pero sí realidad. A esta realidad se refieren todos los juicios del relato de ficción. Esta realidad es la dada en impresión de realidad por esta misma piedra. El novelista construye por creación en esta realidad ‘según fictos’ determinados."[67]
Queda aclarado que las construcciones de la literatura de ficción no son constructos mentales, sino realidades en construcción "según fictos", son estrictas realidades con unas notas y una existencia postuladas. Y en este sentido no hay diferencia entre un objeto matemático y un personaje de ficción. En la misma realidad en que nos son dados esta piedra y un personaje histórico, se construye un número complejo y un personaje ficticio. La diferencia está en el contenido de la construcción, "según conceptos" o "según fictos y perceptos"[68].
Los juicios de la matemática y los juicios de la literatura de ficción recaen sobre "algo real", no "en y por sí mismo", pero sí sobre algo irreal realizado por postulación constructiva. Son realidades en concepto y realidades en ficción, respectivamente. De esta realidad realizada por postulación constructiva es de la que parten los juicios matemáticos y los juicios de la literatura de ficción.
"Pues bien, los juicios de la matemática o de la literatura de ficción no recaen sobre algo formalmente "irreal", sino sobre algo irreal pero "realizado": consideran que la realidad termina efectivamente en esto o en lo otro. A este terminar "determinado" es a lo que de una manera unitaria llamo, con un vocablo tomado de la matemática, postular. Lo irreal, sin dejar de serlo, cobra realidad postulada". [69]
1.3. Apoyo matemático de la anterioridad de la realidad sobre la verdad.
Zubiri acaba el apéndice dedicado a "la realidad de lo matemático"[70], recurriendo a la propia ciencia matemática para apoyar su tesis de la anterioridad de la realidad sobre la verdad en los objetos matemáticos sobre dos teoremas: 1. el Teorema de Gödel, y 2. el Teorema de Cohen. De este modo su realismo matemático cobra carácter de cientificidad.
"A mi modo de ver, éste es el sentido esencial de los Teoremas de Gödel y Cohen: la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la matemática"[71].
La cuestión es si estos teoremas corroboran el realismo zubiriano o han sido factores determinantes del mismo y por eso se justifican desde él. El Teorema de Gödel (1931) hemos señalado que es un factor decisivo del giro zubiriano del objetivismo al realismo, sin embargo, el Teorema de Cohen (1963) tiene un papel corroborador, y lo pensamos así porque en 1962, en Sobre la Esencia, Zubiri ya expone su realismo matemático basándose en el Teorema de Gödel. Además éste lo menciona Zubiri en numerosas ocasiones, mientras que el de Cohen, que sepamos, sólo en esta ocasión.
1.3.1 El teorema de Gödel
La obra de Jean Ladrière: Les limitations internes des formalismes expone el Teorema de Gödel como el principal resultado que pone de manifiesto la limitación interna de los formalismos. Señala la inadecuación entre lo formal y lo intuitivo. Siempre hay posibilidades intuitivas que no se pueden reducir a lo formal. No existe ningún sistema formal que sea definitivo para integrar la totalidad de la realidad matemática. Dice Ladrière:
"La existencia de proposiciones indecidibles pone de manifiesto que no es posible encontrar en el campo deductivo la representación exacta de lo que pertenece al campo de la verdad intuitiva: en este campo siempre hay más de lo que se puede representar en el dominio de las derivaciones posibles. Para extender la representación, es obligado pasar a sistemas cada vez más vastos, y, como el mecanismo que permite construir proposiciones indecidibles puede aplicarse siempre a los nuevos sistemas que se consideran, se puede continuar indefinidamente ampliando el sistema del que se ha partido sin conseguir integrar totalmente el dominio de la verdad intuitiva en el dominio de lo derivable." [72]
Morris Kline, por su parte, afirma:
"El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto porque entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema"[73]
Estos resultados negativos de Gödel suponen la inadecuación de la vía de logificación de la matemática y, en definitiva, como ha visto Zubiri, la inadecuación de la logificación de la inteligencia, porque este programa no sólo se reducía a la matemática sino que se esperaba con su éxito poder aplicarlo a las demás ciencias. W. y M. Kneale (1961) reflejan el espíritu de la época en la que Zubiri está inmerso:
"En el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy, Lord Russell escribía:
"Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática"
Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una , de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica.... carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática".[74]
Vemos que la interpretación usual del Teorema de Gödel es considerarlo como una limitación de los sistemas formales. La Filosofía de la realidad y de la intelección de Zubiri, sugerida en parte por el Teorema de Gödel, alumbra una nueva interpretación de dicho Teorema. No se trata, dice, de la limitación de los sistemas formales en cuanto conjunto de axiomas y postulados a partir de los cuales se derivan los teoremas; el descubrimiento de Gödel pone de manifiesto que lo construido según los axiomas y postulados es algo real. En sus palabras:
"No se trata de una limitación intrínseca a las afirmaciones axiomáticas y postuladas en cuanto afirmaciones— es la interpretación usual de dicho teorema— sino de que deja al descubierto ante la inteligencia el carácter de realidad de lo construido según los axiomas y postulados en cuestión."[75]
No es suficiente la interpretación usual porque, a nuestro modo de ver, se trataría de una interpretación "concipiente", la cual conmociona el descubrimiento de Gödel. Zubiri, en cambio, tras los resultados de Gödel, se debate con la noción de intelección y de realidad proporcionando la noción de "inteligencia sentiente" y de realidad como formalidad "de suyo". Su interpretación es sentiente, y no concipiente como es habitual. Aquí radica su originalidad y fecundidad. Además queda patente no sólo la utilidad de la matemática para la filosofía sino también el valor de la filosofía para la matemática Según Zubiri, el teorema de Gödel pone de manifiesto que el objeto de la matemática es real, los postulados no postulan verdad sino el contenido de lo real. De ahí que las nuevas propiedades no postuladas ni deducidas de los axiomas y postulados, son en sentido estricto propiedades "suyas", "propias". No son realidades "en y por sí mismas", pero son realidades postuladas y construidas.
"Es pues no la insuficiencia intrínseca de un sistema de postulados, sino la radical originalidad de lo construido por ser real; una realidad que no se agota en lo que de ella se ha postulado. Este objeto no es una cosa real en y por sí misma como lo es esta piedra. Pero no es sólo lo que lo "real sería", sino lo que postulada y construidamente "es real". Es a mi juicio la interpretación del teorema de Gödel."[76]
Si hay verdades que no pueden ser demostradas ni refutadas dentro del sistema de postulados se debe a que lo postulado es el contenido de lo real, y todo lo realizado en "la" realidad física, tiene "de suyo" más propiedades que las meramente postuladas al realizarlo. Y esto es así porque la realidad es ‘más’ que un determinado contenido, no se agota en ninguno concreto. No es la intuición matemática la que es más rica que los sistemas formales y la que resulta inadecuada a un sistema formal, porque la intuición no es sino el aspecto noético de la aprehensión sentiente de realidad. Es la realidad matemática en cuanto construcción en "la" realidad (como ámbito transcendental ) la que es "más" que cualquier intuición y formalización concretas. Dice Zubiri:
"Es que el objeto real postuladamente realizado según conceptos tiene, por estar realizado, más notas o propiedades que las definidas en su postulación. Por esto y sólo por esto es por lo que plantea problemas que pueden no ser resolubles con el sistema finito de axiomas y postulados que han definido su realización. Lo construido en "la" realidad es, por estar realizado, algo más que lo postulado al realizarlo. Es a mi modo de ver el alcance del teorema de Gödel" [77]
La incompletitud de la intelección matemática, según esta interpretación realista, no se debe sólo a los límites de la intelección, que por supuesto los tiene, sino a la riqueza, apertura y respectividad de lo real que no se agota en lo que de ella se ha postulado, sino que tiene "de suyo" más propiedades que las formalmente postuladas. La realidad tiene más propiedades que las meramente concebidas objetivamente; por estar realizadas tienen más propiedades que las notas objetivamente concebidas. Y no sólo en el sentido de la implicación, sino de todas las propiedades "com-plicadas", "co-puestas", por el mero hecho de haber sido puestas o realizadas. El contenido de los postulados matemáticos al realizarse se abre al "más" en que consiste la realidad. El Teorema de Gödel pone de relieve, frente al logicismo y formalismo, que la realidad matemática "tiene una ‘estructura’ propia translógica"[78]. Esta estructura es "trans-cendental". De ahí que la intelección lógica no se identifica sin más con la aprehensión de realidad matemática.
Toda la concepción realista del constructivismo matemático de Zubiri, observamos que fundamentalmente se apoya en este celebérrimo descubrimiento de Gödel. Desde la interpretación que hace del mismo queda justificado su transcendentalismo matemático frente al logicismo matemático. Mientras que el Teorema de Gödel muestra inadecuadas las "escuelas" de fundamentación de la matemática, el logicismo, formalismo e intuicionismo, sin embargo, "da la razón" al constructivismo transcendental de Zubiri como nueva vía para fundamentar la matemática y clarificar la naturaleza del objeto matemático. Esta constatación es la que nos lleva a mantener como una de nuestras tesis que el Teorema de Gödel juega un papel crucial en su filosofía de la matemática (y también en todo su pensamiento).
1.3.2 El teorema de Cohen (Teoría no-cantoriana de conjuntos)
El Teorema de Cohen (así denomina Zubiri la teoría no cantoriana de conjuntos) es junto con el teorema de Gödel el apoyo de la propia matemática de la anterioridad de la realidad sobre la verdad. Vemos a continuación sucintamente en qué consiste y la interpretación que da Zubiri del mismo.
Paul J. Cohen y Reunen Hersh trazan el paralelismo que existe entre el desarrollo de la geometría y el de la teoría de conjuntos. El axioma en Teoría de conjuntos equivalente al postulado de las paralelas[79], es el Axioma de elección [80]. Gödel demostró en 1938 que el Axioma de elección es consistente con el resto de los axiomas. Si la teoría de conjuntos restringida (sin el axioma de elección) es consistente, entonces también lo es la teoría de conjuntos típica (incluye el axioma de elección). Igualmente demostró que la hipótesis del Continuo de Cantor no puede demostrarse que sea falsa. Si al unir la hipótesis del continuo al conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos restringida surge una contradicción es que ésta ya se da en la teoría restringida de conjuntos. En 1963, a través del trabajo de Cohen, puede completarse el resultado de la hipótesis del continuo y el axioma de elección. Este autor demuestra que no son demostrables como ciertos. Su negación es consistente con el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos. Así la teoría típica ("Cantoriana") y no típica ("no-Cantoriana") se diferencian en el axioma de elección y la hipótesis del continuo. La cuestión planteada es que si la teoría de conjuntos restringida es consistente, también lo es la teoría de conjuntos típica (o la teoría de conjuntos no típica). El resultado conjunto de Gödel y Cohen es que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son independientes o indecidibles: ni se pueden demostrar ni refutar.
Cohen se propone demostrar, pues, la consistencia de la teoría de conjuntos no cantoriana, en un sentido relativo. Gödel demostró que la constructibilidad implica la hipótesis del continuo y el axioma de elección, por tanto, el primer paso para negarlos es negar el axioma de constructibilidad. Conjunto constructible es aquél que tiene un carácter especial: los pasos por los cuales se ha construido. Cohen para su prueba busca un conjunto que sea genérico y no tenga ninguna característica especial distinto al conjunto construible. La teoría no cantoriana de conjuntos usa el método de forzamiento. Dicen Paul J. Cohen y Reunen Hersh:
"Hablando de una manera muy vaga, los conjuntos genéricos tienen solamente aquellas propiedades que "forzosamente" tienen que tener a fin de ser tales conjuntos. A fin de decidir si a está "forzado" a tener una cierta propiedad, debemos considerar N en su totalidad. Sin embargo, N no está realmente definido, a menos que hayamos especificado a. La idea de hacer que este razonamiento aparentemente circular no lo sea es otro elemento clave de la nueva teoría."[81]
Cohen distingue propiedades genéricas de conjuntos y propiedades específicas de conjuntos. Los conjuntos genéricos (no construibles) no están determinados por postulados específicos (conjuntos construibles) y son anteriores y dejan libres o indeterminadas las propiedades específicas, las cuales "forzarán" a especificarse a las propiedades genéricas. Cohen (1963) a partir de los conjuntos no-construibles demostró la falsedad de la hipótesis del continuo de Cantor. Zubiri interpreta que los conjuntos genéricos son "la simple realización del conjunto", y la realidad de este conjunto exige la especificación como una determinación real y no una diferencia lógica.
"Y el teorema (llamemos así a la teoría no cantoriana de conjuntos) de Cohen: los conjuntos no son sólo sistemas de elementos determinados por precisa postulación, sino que hay, antes de eso, conjuntos que él llama genéricos y que a mi modo de ver no son genéricos, sino que son la simple realización del conjunto, sin las propiedades específicas determinadas por la postulación. Las propiedades postuladas mismas son entonces reales antes que verdaderas. La especificación no es aquí una diferencia lógica sino una determinación real. Es la realidad del conjunto antes que la verdad axiomática postulada." [82]
1.4. Complemento sentiente del realismo tanteado de Gödel.
Hemos reflejado en nuestro trabajo que la evolución en Zubiri del objetivismo-idealismo al realismo de la matemática ha tenido como factor fundamental los resultados de Gödel. Esto nos lleva a dedicar una atención de nuevo a este gran lógico, matemático y filósofo. Por lo dicho respecto a Zubiri, cabe esperar que la postura defendida por Gödel[83] en cuanto a la naturaleza de la matemática sea igualmente un realismo. En efecto, Gödel siempre se opuso al formalismo de la matemática del positivismo lógico, al nominalismo y al instrumentalismo. Dice Gödel:
"Es cierto que mi interés por los fundamentos de la matemática surgió a través del contacto con el "Circulo de Viena", pero las consecuencias filosóficas de mis resultados, lo mismo que los principios heurísticos que llevan a ellos son cualquier cosa menos positivistas o empiristas... He sido un realista conceptual y matemático desde 1925 aproximadamente. Nunca he mantenido la tesis de que la matemática sea sintaxis del lenguaje, sino que por el contrario esta tesis, en cualquiera de sus sentidos razonables, puede ser refutada con mis resultados." [84]
Con frecuencia Gödel es considerado miembro del Círculo de Viena. Como constata el autor en el texto que acabamos de transcribir, éste es su horizonte filosófico[85], sin embargo, su postura es no-positivista. Más aún, es consciente de que sus resultados son puntal de la concepción realista de la matemática (como las geometrías no-euclídeas lo fueron de la concepción objetivista y convencional). El Teorema de Incompletitud conmociona la concepción del Positivismo Lógico[86] que defiende la naturaleza logicista de la matemática, esto es, la reducción de la matemática a la lógica, la identificación de la verdad matemática con la consistencia lógica, el carácter tautológico —a priori y vacío de contenido factual— de sus proposiciones; y, en definitiva, la tesis de que la matemática es "sintaxis" del lenguaje (sólo nos ilustra la manera como utilizar ciertos signos o símbolos y de sus implicaciones y posibilidades). Gödel se opone a esta concepción que defienden sus maestros, Hahn, Schlick y Carnap, y afirma que el formalismo, nominalismo e instrumentalismo son insatisfactorios como interpretación de las matemáticas. Él ha tenido como principio heurístico de sus resultados el realismo matemático y, a su vez, sus resultados corroboran el realismo matemático. La matemática es ciencia de "entes" reales.
Así, por ejemplo, cuando P. Cohen (1963) completa sus resultados sobre la Hipótesis del Continuo de Cantor, mostrándose indecidible respecto a los axiomas de teoría de conjuntos, ello no le lleva a un nominalismo o convencionalismo, sino que está convencido de que tiene que ser o verdadero o falso, y que habrá que seguir completando los axiomas para llegar a resolver esta cuestión en el futuro. Gödel refiriéndose a los objetos de la teoría de conjuntos transfinita dice que por supuesto no pertenecen al mundo físico, incluso su papel en la física actual es escaso, pero:
"a pesar de su lejanía de la experiencia sensible, tenemos algo parecido a una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede ver por el hecho de que los axiomas mismos nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. No veo ninguna razón por la cual debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensible, que nos induce a construir teorías físicas y a esperar que futuras percepciones sensibles concuerden con ellas y, además, a creer que cuestiones no decidibles por el momento tengan significado y puedan ser decididas en el futuro"[87]
Ciertos axiomas, no deducidos dentro del sistema, se nos imponen con la fuerza de tener que admitirlos como verdaderos, y esto de tal modo que podemos decir que su verdad nos tiene poseídos. Que esto sea así, sólo se explica si admitimos, como hace Gödel (también Zubiri), algún tipo de realidad en las verdades matemáticas, frente al Positivismo Lógico. Lo que la percepción es a las ciencias empíricas sería la intuición a la matemática. Pero ¿está defendiendo aquí Gödel un realismo platónico de los entes matemáticos? Que Platón le influye es un hecho reconocido por él; sin embargo, a nuestro modo de ver, no se identifican ambas posturas. Hay algún texto que justificaría su platonismo[88], opinión que, por ejemplo manifiesta Jesús Mosterín:
"[Gödel] replica a los críticos de su filosofía de las matemáticas, reafirmando vigorosamente un platonismo extremo, que equipara la intuición matemática a la percepción sensible, y la cuestión de la existencia de las entidades matemáticas a la de la existencia del mundo externo"[89]
Sin embargo, esta calificación de "platonismo extremo" ¿es adecuada a la postura que defiende Gödel de la naturaleza de la matemática según lo que sigue diciendo en este suplemento, escrito en 1963, y que tiene suma importancia? Creemos que no. Dice Gödel:
"Debería observarse que la intuición matemática no tiene que ser concebida como una facultad que proporcione un conocimiento inmediato de los objetos que le conciernen. Parece más bien que, como en el caso de la experiencia física, formamos también nuestros conceptos de estos objetos a partir de algo más que es inmediatamente dado. Sólo que este algo más no es aquí, o no principalmente, la sensación. Que además de las sensaciones hay algo real e inmediatamente dado se sigue (independientemente de las matemáticas) del hecho de que incluso nuestros conceptos referentes a los objetos físicos contienen constituyentes cualitativamente diferentes de las sensaciones o meras combinaciones de las sensaciones"[90]
Platón considera que la intuición racional nos da de modo inmediato el objeto matemático (aunque pasemos de unos a otros de modo discursivo), no tenemos que formarlo. Gödel sostiene que la intuición no da el contenido de la intuición sino algo, una base, a partir de la cual nosotros elaboramos el contenido matemático. Aquí hay una diferencia importante entre las concepciones de Gödel y Platón. Podría parecernos que su postura es similar a la concepción kantiana de la matemática: un idealismo trascendental; la intuición da la materia y el sujeto la configura de acuerdo a los conceptos "a priori". No es así, Gödel explícitamente dice[91] que no son conceptos subjetivos, como piensa Kant, por el hecho de que no nos lo ofrezcan los sentidos. Este "más" que subyace a las matemáticas es dado por la realidad objetiva, aunque de distinto modo que las sensaciones, es otro aspecto de la realidad objetiva que el sujeto recibe por otra vía no sensitiva. En palabras de Gödel:
"Lo "dado" que subyace a las matemáticas... puede representar más bien un aspecto de realidad objetiva, pero, en oposición a las sensaciones, su presencia en nosotros puede deberse a otro tipo de relación entre la realidad y nosotros mismos."[92]
Gödel parte de la dualidad entre sentidos e inteligencia. La intuición matemática es distinta de la percepción sensible. Toda esta explicación (conceptiva) de la naturaleza realista de la matemática resulta un balbuceo, a la luz de inteligencia sentiente, de lo que sería un realismo trascendental, tal y como lo hemos defendido en Zubiri. Esto queda explícito si sustituimos las expresiones desde inteligencia concipiente de Gödel por las de inteligencia sentiente de Zubiri:
Desde inteligencia concipiente
según Gödel
Desde inteligencia sentiente
según Zubiriintuición
aprehensión primordial de realidad
"algo más que es inmediatamente dado"
formalidad de realidad
"sensaciones"
contenido de realidad
Esta lectura zubiriana del texto de Gödel nos permite ver que la actualidad de lo real en cuanto tal en la inteligencia sentiente ofrece un componente específico que es el contenido (por la potencia de sentir) y un componente inespecífico que es la formalidad de realidad de ese contenido (por la potencia de la inteligencia). La formalidad de realidad efectivamente se nos da, pero por una potencia distinta a la que nos proporciona las cualidades sensibles. No es lo mismo sentir que inteligir. Sin embargo el acto es único: impresión de realidad, y esto porque aunque hablamos de dos potencias, la facultad es única: inteligencia sentiente o sentir intelectivo. La unidad de inteligencia sentiente nos ofrece la unidad de la realidad en su contenido y formalidad. La formación de nuestros conceptos de los objetos matemáticos, a la que alude Gödel, desde inteligencia sentiente, será construcción sentiente del contenido de la realidad según conceptos. En definitiva, el realismo matemático de Gödel nos parece más próximo al realismo transcendental de Zubiri que al realismo transcendente de Platón. Zubiri y Gödel defienden el realismo matemático frente al convencionalismo[93]
1.5. Constructivismo transcendental y mundo.
1.5.1 Idea de un universo matemático: libre postulación
La idea de un universo matemático es una libre construcción, es una construcción transcendental. Que la realidad cósmica tenga estructura matemática, nos dice Zubiri, fue postulado en la física al comienzo de la edad moderna por Galileo, quien en "Il Saggiatore" (1623) afirma que el universo está escrito en un lenguaje matemático. La ciencia renacentista consistía en afirmar el carácter matemático de la realidad. Es evidente, dice Zubiri, la gran fecundidad del matematicismo. Ahora bien, precisamente este éxito puede crear el espejismo de que nuestra concepción es totalmente adecuada y refleja la estructura del cosmos, de tal modo que realmente el cosmos tenga una estructura matemática. Zubiri señala al respecto,
"Sin embargo, el éxito fabuloso de la idea de un universo matemático no puede ocultar su carácter de libre creación, de libre postulación, la cual precisamente por ser libre deja seguramente en la oscuridad aspectos insospechados de la naturaleza" [94]
Toda libre creación es una apropiación de una determinada posibilidad, pero en cuanto tal es muy limitada, ya el hecho de realizar una posibilidad supone decidir la suerte de otras. Nunca sabremos si con una adquisición concreta hemos facilitado o malogrado otras importantes dotes. En este sentido la historia es un proceso que viene trazado de un modo muy determinado, es una cuasi-creación. Esta es su gravedad.
"Nos hemos apropiado la matemática como posibilidad de entender la naturaleza. El éxito no permite duda ninguna sobre el valor positivo de esta apropiación. Pero jamás estaremos seguros de no haber obturado con ello la apropiación de otras posibilidades que nos abrieran otros aspectos de la naturaleza tal vez muy esenciales. La historia es, pues, un proceso muy determinado"[95]
El contenido del orbe matemático, de las cosas reales "en y por postulación", es libremente construido con total independencia de las notas y estructuras del contenido del campo de las cosas reales "en y por sí mismas", pero en la transcendentalidad sentida de la realidad campal. En "la" realidad campal en cuanto realidad estamos instalados ya en el mundo, por eso podemos postular que la talidad mundanal tenga una estructura matemática. Si Mundo, dice Zubiri, "es la respectividad de lo real en su formalidad de realidad" [96] y los objetos matemáticos se constituyen en la formalidad de realidad de las cosas aprehendidas en impresión sensible, entonces la matemática nos instala en la talidad mundal. Si sólo atendemos a esta última afirmación podemos caer en algunos errores, por ello conviene insistir que si bien la matemática nos instala en el mundo, no lo hace en cuanto construcción, sino en cuanto construcción transcendental. Lo exacto es decir, que la transcendentalidad es la que nos instala en el mundo, y la construcción en tanto que se hace en ella nos permite seguir instalados en el mundo sin salirnos de la realidad en cuanto realidad. Podemos construir un contenido talitativo matemático, pero no un mundo. La razón está en que el cosmos se refiere a la respectividad talitativa mientras que el mundo se refiere a la respectividad real. La inteligencia sentiente puede crear contenidos de realidad, nunca realidad. El mundo nos es dado sentientemente en la aprehensión primordial de realidad y por moverse en él la inteligencia puede postular que tiene una estructura talitativa matemática.
1.5.2 Matemática Pura y Matemática Aplicada.
La distinción entre matemática pura y matemática aplicada se viene haciendo desde la logificación de la matemática. La matemática pura, como conjunto de sistemas formales de carácter lógico, estaría en el mundo de lo posible; sin embargo, las aplicaciones físicas de estos sistemas lógico-formales se corresponderían con el mundo físico o realidad. Recogemos la división y definición que apunta Nagel entre los dos tipos de geometría: geometría pura y geometría aplicada o física, para constatar posteriormente que se sitúa en la línea de inteligencia concipiente.
"es de la mayor importancia distinguir entre la geometría como disciplina cuyo único objetivo es descubrir lo implicado lógicamente por los axiomas o postulados y la geometría como disciplina que trata de hacer afirmaciones materialmente verdaderas acerca de un ámbito empírico específico"[97].
Y continúa diciendo Nagel:
"En el primer caso, los matemáticos exploran relaciones lógicas entre enunciados sólo en la medida en que estos últimos son casos de formas de enunciados, de modo que los significados de los términos de referencia específica, en principio, carecen de importancia. En el segundo caso, los términos no lógicos que aparecen en los axiomas y teoremas deben estar asociados a elementos definidos en un ámbito determinado, de modo que sea posible investigar adecuadamente la verdad o falsedad de los diversos enunciados pertenecientes al sistema. Cuando se estudia la geometría, en el primer sentido, simplemente como sistema deductivo, se le suele llamar "geometría pura"; y cuando se la estudia en el segundo sentido, como un sistema de verdades fácticas, se le aplican comúnmente los nombres de "aplicada" o de "geometría física"[98]
En primer lugar, tenemos que constatar que esta clasificación, en parecidos términos, Zubiri la sostiene también en 1934:
"La matemática, como sentido de la Naturaleza física, no puede confundirse con la matemática pura"[99]
Posteriormente ya no volvemos a ver esta distinción en Zubiri. Desde inteligencia sentiente, creemos, que es imposible concebir una estructura matemática anterior a la realidad misma; la matemática es siempre y sólo "estructura de la realidad campalmente dada", de la realidad sentida o física. Por ello, siguiendo esta línea sentiente del pensamiento de Zubiri, podemos decir que la distinción que vemos en autores como Hempel entre geometría pura y geometría física está desviada respecto de la verdadera naturaleza de la matemática; su punto de partida es la inteligencia concipiente. Lo que Hempel denomina geometría pura más bien habría que denominarla geometría concipiente y lo que denomina geometría física sería la geometría sentiente. Mientras que la primera es una colección de conceptos, proposiciones o razonamiento, la segunda es ciencia de realidad. No es que Zubiri admita estos dos tipos de geometrías o de matemática, la geometría concipiente puede ser lógica pero no matemática, porque la matemática es ciencia de realidad postulada. No hay matemática pura o formal, independiente de la realidad física, sino que toda matemática es construcción transcendental, esto es, construcción en el momento transcendental de la realidad campal sentida en aprehensión primordial.
Si partimos de un sistema de conceptos matemáticos nunca podríamos llegar a "dar el salto" a la realidad. Se ha pretendido que esto es así con el recurso a una interpretación semántica. Como dice Hempel:
"La geometría física se obtiene mediante lo que en la lógica contemporánea se llama una interpretación semántica de la geometría pura"[100]
Ahora bien, ¿Qué es una interpretación semántica ? A ello se nos responde que es dar un contenido significativo a los conceptos lógicos de la matemática pura.
"Hablando en general, una interpretación semántica de una teoría matemática pura, a cuyos términos primitivos no se haya atribuido una significación específica, consiste en dar a cada término primitivo una significación o un designatum específico"[101]
Algunos autores hablan no de interpretación semántica sino de aplicación. El punto de vista moderno es que hay distinción entre la matemática y las aplicaciones de la matemática. La invención de las geometrías no-euclídeas y los rápidos desarrollos del s. XIX es lo que lleva a aceptar geometrías formales a parte de las que pueden considerarse como ciencias definidas del espacio o la extensión. La "Ausdehnungslehre " de Grassman, publicada en 1844, es un hito en este cambio de ideas; pretende ser una fundamentación abstracta del espacio, en sustitución de la intuición espacial. Pues bien, esta ciencia abstracta es la matemática pura y su aplicación a la naturaleza ya no será una rama de la matemática.
Raymond L. Wilder[102] afirma que esta concepción de Grassmann es en lo esencial la que hoy impera. Un sistema matemático llamado geometría no es necesariamente una descripción del espacio real. Hace un análisis del método axiomático y nos dice que se parte de términos indefinidos y axiomas, y se demuestran los teoremas. Un axioma, tal como se usa modernamente, es un enunciado que parece valer para un concepto supuesto, y un sistema axiomático es un conjunto de tales enunciados acerca del concepto. Una interpretación de un sistema axiomático es una atribución de significaciones a los términos técnicos indefinidos del sistema, de tal modo que los axiomas sean enunciados verdaderos para todos los valores de las variables. En general, si se establece una interpretación, I, de un sistema axiomático, resulta un modelo de dicho sistema, M (I). Un sistema es satisfactible si existe una interpretación suya.
Ahora bien, en el concepto de interpretación semántica seguimos moviéndonos en inteligencia concipiente. Según esta definición de interpretación semántica, pasaríamos de un sistema de conceptos puros a conceptos con un significado específico, todo lo específicos que sean, pero conceptos al fin y al cabo; por tanto, el resultado es una construcción "conceptiva" de la matemática porque se trata de definir conceptos específicos. Como ya hemos señalado, según Zubiri, la matemática es construcción transcendental, y en cuanto tal no es ningún tipo de conceptualización o de interpretación, sino de realización "según conceptos" en "la" física realidad campal dada en aprehensión primordial por las cosas reales. Sólo la aplicación de los conceptos matemáticos libremente construidos según una coherencia interna en la realidad puede entenderse como intelección matemática.
Desde Inteligencia Sentiente queda disuelta la dualidad "logicista", abierta desde Inteligencia Concipiente, entre Matemática pura y Matemática aplicada. Sólo hay una matemática: Matemática Sentiente (frente a Matemática Pura o Lógica) o Matemática Transcendental (frente a Matemática Objetiva-ideal). El objeto de la matemática, como hemos señalado anteriormente, es único: la realidad postulada. El haber considerado los contenidos de los conceptos lógicos como objeto de la matemática pura no es sino resultado de la logificación de la matemática. Desde inteligencia sentiente, nos movemos forzosamente en la realidad. De ahí que no hay una matemática pura que construya sistemas de axiomas y postulados, que en sí nada tengan que ver con la realidad, sino que sean puras posibilidades lógicas; y una matemática aplicada que tratara de ver cuáles de esas posibilidades lógicas puede aplicarse a la realidad física transcendente. Esta división, a la luz de la aportación de Zubiri, es inadecuada, y la raíz de ello está en lo que se entiende por realidad. La realidad no es transcendente sino transcendental. Es la realidad la que posibilita la creación de los distintos sistemas de axiomas y postulados. Por eso las posibilidades matemáticas son siempre posibilidades reales.
Una vez rechazadas las nociones de matemática y de realidad que subyacen en la distinción "logicista" entre Matemática Pura y Matemática Aplicada, hay que añadir, según el pensamiento de Zubiri, que hay una diferencia entre lo que es la Matemática como ciencia de realidad postulada "según conceptos" y la Física matemática. Esta última es una construcción transcendental, pero no según conceptos, sino según fictos creados al hilo de conceptos. Lo Físico-matemático es una construcción en la realidad según fictos creados al hilo de conceptos constructos.
"Ya en el ficto asistimos a una primera manera de construcción: la reconformación de las notas en un ficto. Pero aquí la construcción tiene otro aspecto. Porque no opera sobre notas separadas sino sólo sobre notas "prescindidas", sobre notas abstractas. Con lo cual, el resultado ya no es un ficto sino un concepto, un "qué". Claro está, estas dos maneras de construcción no son necesariamente independientes. Puedo efectivamente construir un ficto al hilo de un concepto constructo: es por ejemplo, el caso de la construcción físico-matemática. No hago sino aludir al problema sin pararme por ahora en él."[103]
No hemos encontrado desarrollado este problema de la construcción físico-matemática en ningún otro lugar de su obra publicada, es muy posible que esté más explicitado en su obra inédita, en concreto en El Espacio (dado que ahí se plantea la relación entre espacio físico y espacio geométrico). Dejamos planteado esta cuestión del "constructivismo transcendental y mundo" de un modo aproximativo; profundizaremos mayormente en este grave problema de la epistemología matemática en un trabajo posterior.
1.6 Constructivismo transcendental: un Transfinitismo
A Cantor (1845-1918) se debe la elaboración de la teoría de los conjuntos que cumple un papel capital en la actual matemática. Admite conjuntos tanto finitos como infinitos[104]. El número que expresa los conjuntos infinitos se denomina "número cardinal transfinito" o "transfinito".[105] Dentro de esta matemática transfinita de Cantor ha tenido especial relevancia la demostración de la Hipótesis del Continuo.
El denominado, por antonomasia, "Teorema de Cantor"[106] es aplicable a los conjuntos finitos e infinitos. Por tanto, el cardinal del conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto continuo[107] será mayor que el cardinal del conjunto continuo. La hipótesis del continuo consiste en afirmar que entre el cardinal transfinito del conjunto numerable y el cardinal transfinito del continuo hay un cardinal transfinito distinto. Cantor nunca llegó a probar esta hipótesis. Entre Gödel y P. Cohen demostraron que la hipótesis generalizada del continuo es independiente de los demás axiomas de cualquier teoría axiomática de los conjuntos.
La concepción cantoriana de la matemática ha dado lugar a fuertes controversias entre los matemáticos y se ha incrementado por la aparición de las paradojas dentro de la misma. Especialmente grave fue la demostración que hizo Russell de que el conjunto de todos los conjuntos es contradictorio.
El problema filosófico fundamental que plantea la matemática transfinita de Cantor es el de la realidad del infinito actual y el caso particular de la continuidad. Este problema no es nuevo, desde la antigüedad se viene planteando ante la posibilidad de ir incrementando indefinidamente los números naturales y de ir dividiendo continuamente la distancia entre dos puntos. Las paradojas de la infinita divisibilidad del continuo señaladas por Zenón de Elea son decisivas para una mayor profundización acerca de la naturaleza del infinito. Con Aristóteles la idea de infinito tiene un alcance matemático. En el libro III de la Física examina el concepto de infinito y establece la famosa distinción entre infinito potencial e infinito actual. El infinito potencial consiste en considerar la posibilidad de continuar o de dividir una serie ad infinitum; por el contrario, el infinito actual considera que la serie infinita es algo dado, bien en la realidad o en el pensamiento. Aristóteles admite de modo claro el infinito potencial Esta distinción entre infinito potencial e infinito actual es comúnmente aceptada por matemáticos y filósofos hasta mediados del s. XIX. Gauss dirá que el infinito actual es una manera de hablar. Cabe mencionar, en este lapsus de tiempo, la postura de Kant. Éste considera que el infinito actual no es un concepto matemático, en cuanto que no es posible atribuirle una intuición sensible; sin embargo, es un concepto del dominio de la lógica: es un objeto que puede ser pensado. Es un concepto límite, esto es, tiene el carácter de una idea regulativa de la razón. El constructivismo sensible de Kant es un finitismo.
Aunque es un problema antiguo, en la actualidad es cuando ha adquirido su máximo relieve con la matemática transfinita de Cantor, denominada entusiastamente por Hilbert: "la flor más admirable del conocimiento matemático".
En toda filosofía de la matemática, la concepción del infinito actual es piedra de toque. S. Körner señala que las distintas concepciones del infinito son hitos en la historia de la filosofía de la matemática,
"Si en la historia de la matemática puede destacarse una nueva época, en ocasiones, por una nueva concepción de las cantidades y los conjuntos infinitos, esto es más cierto todavía de la historia de la filosofía de la matemática".[108]
Este autor[109], clasifica en tres tipos las actitudes ante el problema de la realidad del infinito actual. Nos referimos a ellas brevemente a fin de contextualizar la aportación de Zubiri.
1. Finitismo: Niegan todo tipo de realidad al infinito actual, esto es, al infinito como algo dado completamente; y admiten sólo la progresión continua. Es la postura adoptada, entre otros, por Aristóteles, Sto. Tomás, los intuicionistas y por los matemáticos: Euler, Cauchy y Gauss. El intuicionista Leopold Kronecker, maestro de Cantor, se opuso vivamente a ella. Según su concepción, Dios nos ha dado los números enteros y todo lo demás es creado por el hombre. Sólo el número entero es, pues, un dato de la intuición, y, por tanto, construir ha de reducirse a contar lo dado[110]. Brouwer rechazó completamente la matemática clásica infinitista y construyó una matemática intuicionista. El objeto de la matemática sólo son los conjuntos finitos resultante de las operaciones ejecutadas sobre ellos. "El intuicionismo es radicalmente un finitismo"[111]. El juicio que en general merece en este punto el intuicionismo, es negativo. Dice Zubiri:
"La mayoría de los matemáticos rechazaron por esto la idea de Brouwer a pesar de sus geniales aportaciones a la topología, porque amputar el infinito actual sería para ellos anular un enorme trozo del edificio matemático. Brouwer, se nos dice, si fuera consecuente consigo mismo, se vería forzado a dar por inválido toda una parte enorme del análisis infinitesimal" [112]
El finitismo defendido por Brouwer no es "estricto" sino moderado, esto es, admite el infinito potencial. A través de pasos finitos se puede seguir operando ‘indefinidamente’. A diferencia del finitismo moderado, el finitista estricto negará incluso la existencia construible de sucesiones de desarrollo infinito de igual modo que los intuicionistas niegan la existencia de los infinitos reales. La razón que dan es que imaginar que el proceso prosigue continuamente rebasa la capacidad humana de aprehensión de lo particular. Heyting señala (en boca de IN) que este extremo finitismo es difícil de admitir.
"Indudablemente, su extremo finitismo proporciona la máxima seguridad frente a toda mala comprensión, pero a nuestros ojos implica una negación de la comprensión que es difícil de admitir: los niños de la escuela primaria comprenden lo que son los números naturales, y admiten el hecho de que sea posible continuar indefinidamente la sucesión de tales números."[113]
2. Transfinitismo: Conceden la misma realidad a los conjuntos infinitos que a lo finitos. Es defendido por Dedekind[114] y Cantor.
3. Transfinitismo metodológico: Admiten en las teorías matemáticas conceptos transfinitos pero no les conceden un estatuto total de realidad sino más bien de utilidad. Es la postura adoptada por Hilbert. Para este autor la admisión de conceptos no empíricos como la del infinito real depende de la consistencia de la teoría en la que se introduzca.
Esta división, según S. Körner, se corresponde con la que se establece en filosofía, respectivamente, entre: 1. positivistas (sólo son reales conceptos empíricos[115]), 2. realistas metafísicos (hay conceptos no empíricos que son igualmente reales) y 3. realistas metodológicos (como auxiliares pueden admitirse en las teorías algunos conceptos no empíricos).
En el presente trabajo, vamos a exponer una primera aproximación al tema del infinito actual en Zubiri (en un estudio posterior haremos un análisis más exhaustivo del mismo). Sólo dejaremos apuntado que la nueva concepción constructivista transcendental del infinito actual o del continuo real, aportada por la filosofía zubiriana de la matemática, es un hito en la historia de la filosofía de la matemática. El infinito actual y el continuo son constructos transcendentales. De este modo, se mostrará que el constructivismo no es necesariamente un finitismo, sino que el constructivismo sentiente es un transfinitismo, a diferencia de otros constructivismos, sea la concepción constructiva sensible de Kant o las actuales de Bishop, de P.Lorenzen, etc., que son un finitismo (más o menos moderado). De ahí que tengamos que modificar la división de Camino Cañón, respecto de las posturas adoptadas ante el infinito actual, entre actualistas y constructivistas. Mientras que los primeros aceptan el infinito actual, los segundos lo rechazan y no admiten nada más que el infinito potencial.
"Hay dos modos fundamentales de interpretar la naturaleza del infinito en matemáticas. Una es la llamada ‘actualista’ (an sich), la otra es la llamada ‘constructivista’. La primera es la interpretación habitual en matemática clásica. La segunda es la defendida por matemáticas que con diversos matices han optado por la fundamentación de la matemática centrada en la intuición a priori del tiempo al modo kantiano. Kronecker, Poincaré, Brower y el mismo Weyl han hecho matemáticas utilizando un infinito que no sobrepasaba las exigencias constructivistas."[116]
Esto aplicado al constructivismo de Zubiri es equívoco. Su constructivismo transcendental no es un finitismo sino un trans-finitismo. Zubiri no sólo cree en el infinito potencial como otros constructivismos[117] sino también en el infinito actual. Es un constructo transcendental. Vamos a verlo en su segunda filosofía de la matemática, pero antes es preciso mostrar la concepción objetivista ideal del infinito actual en la primera filosofía de la matemática. Este tema muestra claramente la evolución de Zubiri en su filosofía de la matemática.
La teoría de los conjuntos, dice el joven Zubiri, ha dado a la Aritmética un carácter a priori; el número deja de ser una relación real, y se convierte en una especie ideal.
"Claro está que en rigor no son éstas sino complementaciones del limitadísimo número de objetos que pueden entrar en nuestra experiencia; pero siempre se trata de conjuntos finitos. Cantor va a rematar definitivamente la teoría introduciendo en ella el conjunto del infinito actual, base del sistema de números transfinitos, y de su teoría del continuo, pese a las antinomias a que aparentemente puede dar margen". [118]
Como conclusión de su análisis de la repercusión de la teoría de conjuntos y la introducción que hace Cantor del infinito actual (base de los números transfinitos y del continuo), Zubiri apunta el giro del intuicionismo matemático al axiomatismo de Hilbert.
"...Se comienza por definir ciertas relaciones fundamentales y se deducen sus consecuencias bajo la sola condición de conservar sus propiedades formales. El método intuitivo ha sido sustituido por el método axiomático (Hilbert)"[119]
El infinito actual, para el joven Zubiri, es un objeto ideal. Su concepción objetivista-ideal está en continuidad con la formalista de Hilbert. Que el infinito actual no pueda ser intuido no implica que deba ser rechazado como una especie de "monstruo" creado por la razón o sustituirlo por el infinito potencial. Todo lo contrario, Zubiri, como Hilbert, rechaza la intuición como método apropiado de la matemática de finales del s. XIX y principios del s. XX. El infinito actual, como todos los objetos matemáticos, tiene alguna realidad, no sensible, no existente, pero no es mero contenido de conciencia. Zubiri rechaza con gran ahínco el psicologismo.
"Un número trasfinito, un centauro, una sirena, son objetos a mismo título que el reloj que tengo sobre mi mesa. Poco importa por el momento el género de realidad que estos objetos existentes tengan. Nos basta con que se presenten a la conciencia como algo que no es ella..." [120]
La conciencia es de carácter intencional, siempre es conciencia "de algo", y por esto mismo el número trasfinito tiene un carácter intencional que no es reductible a la conciencia. El número transfinito no es una representación, sino un pensamiento (en su segunda filosofía de la matemática rechazará esta concepción).
"Cuando un matemático habla de un número trasfinito no tiene una representación de él, pero sí un pensamiento; esto es, se refiere intencionalmente a él" [121]
Su concepción, en esta primera etapa, ¿podemos denominarla platónica? Hay textos que así lo sugieren. El infinito actual, en este sentido, pertenecería al mundo de las Ideas. El propio Zubiri hace explícita la referencia a Platón.
"Y aquí se dan de manos los resultados de la crítica científica y los de la crítica filosófica. Porque si los objetos ideales no son contenidos de conciencia, y algunos de tales objetos (los matemáticos, por ejemplo) no son realidades existentes en el mundo externo (según vimos en la anterior exposición), resultará que esos objetos ideales no son propios ni de la conciencia ni del mundo. Son, pues, un tercer mundo sui generis; el mundo de las ideas, que diría Platón". [122]
A continuación, vemos cómo la proximidad al platonismo, lleva a Zubiri a atribuir los caracteres de las Ideas platónicas a los objetos matemáticos y, en concreto, al objeto que nos ocupa: el infinito actual. Así el infinito actual es de naturaleza objetiva, no existe en la realidad sensible sino que pertenece a un mundo ideal, trascendente.
"Y henos aquí en la conclusión que en el párrafo anterior señalaba. La teorización de la ciencia contemporánea nos coloca ante la necesidad de hablar de un mundo ideal, es decir inexistente, pero trascendente, esto es, objetivo" [123].
Unir el nombre de Zubiri al de Platón (según hemos justificado) no puede hacerse sin grandes reservas; hay un texto al final de su tesis Teoría Fenomenológica del Juicio, que aparentemente contradice cuanto hemos dicho. Lo transcribimos a continuación.
"Hagamos constar solamente que el concepto de síntesis a priori tiene especial aplicación al dominio de las hipótesis y de los postulados. La síntesis, por lo mismo que es a priori crea su propio objeto: tal es el caso de las matemáticas, que crean arbitrariamente su objeto a base de postulados. Pero una vez creado el objeto, la conciencia obtiene todos los juicios analíticamente. Precisar la razón por la cual la conciencia puede crear objetos matemáticos y no físicos, es problema de Epistemología especial"[124] .
¿Es el objeto matemático una creación por postulados de índole arbitraria y convencional? Esto es lo que expresa el texto y resulta difícil conciliarlo con el carácter objetivo y trascendente que, según hemos señalado anteriormente, vincula al objeto matemático con las Ideas de Platón. Cabe una solución y es considerar que Zubiri, como el matemático y filósofo Poincaré (autor que cita en la bibliografía y que sin duda ejerce una influencia en Zubiri) atribuye un carácter convencional (no estricto) a la geometría pero no al resto de la matemática. Pero no encontramos ningún texto que nos permita ver que es así.
Esta interpretación objetivista-ideal del infinito actual tiene especial relevancia en la filosofía objetivista del primer Zubiri. En esta etapa Zubiri sigue, en gran parte, el idealismo transcendental de Husserl.
"Así como la Filosofía moderna nació de la interpretación subjetivista y cosmológica de la Matemática, así la Filosofía contemporánea nace de una interpretación objetivista ideal de la Matemática. Una vez más se pone de relieve el interés filosófico de la Matemática..." [125]
En la nueva filosofía de la matemática de Zubiri, el constructivismo transcendental, la interpretación que hallamos del infinito actual es muy distinta a la de su primera etapa. El autor sigue aceptando sin ninguna reserva la matemática transfinita de Cantor, que admite la existencia de conjuntos infinitos. Dice:
"Pero los conjuntos pueden ser infinitos; esto es, pueden contener una infinitud actual de elementos como es usual en la matemática desde Cantor. Esta infinitud puede ser de distinto "tipo" (Cantor diría que puede tener distinta "potencia"). Sin entrar en precisiones ulteriores, contentémonos con decir que uno de estos tipos de infinitud es justo la continuidad. Por ejemplo, considerados ‘todos’ los puntos de un segmento lineal como ‘actualmente’ existentes en él constituyen un ‘conjunto’ de puntos infinito ‘continuo’"[126]
El infinito actual, y, uno de sus casos particulares, el conjunto continuo, son construcciones transcendentales y, por tanto, realidades "en construcción". Por la inteligencia sentiente estamos instalados en la realidad, no sólo en el momento individual de las cosas reales sentidas, sino también en su momento transcendental campal; es en este momento donde se proyecta el infinito actual o el continuo construidos "según conceptos" De ahí que el resultado sea una realidad transcendental. Es notable el giro de Zubiri:
Concepciones de la matemática
Concepción del infinito actual y del continuo
I. Concepción objetivo-ideal
objeto ideal, a priori
II.Concepción constructiva sentiente
realidad "en construcción", cosa libre
No se trata, según Zubiri, de que los números transfinitos sean reales como las cualidades sentidas, pero no por ello dejan de ser inteligidos como realidades. Son reales en cuanto que se construyen en la impresión de realidad dada impresivamente en la aprehensión primordial.
"Un número transfinito, un concepto abstracto, no son cualidades sentidas. Pero son inteligidas como algo real, y a fuer de tales se constituyen en la impresión de realidad en cuanto tal".[127]
El infinito actual y el continuo son, como todos los objetos matemáticos, construcciones transcendentales. Su construcción no es mera conceptuación sino que es realización, llevada a cabo sentientemente, de un contenido construido libremente por la razón en la impresión de realidad dada en aprehensión. El contenido del infinito actual o del continuo no se sienten porque no son sensibles, sino pensados; ahora bien, la inteligencia por ser sentiente puede realizarlos en la impresión de realidad. Todo lo que hemos dicho respecto del sensismo y del transcendentalismo de la matemática es aplicable al infinito actual: se siente (tenemos impresión transcendental de él) y es real (es una construcción en el ámbito transcendental) Ahora bien, esto está dicho primariamente en la línea de la formalidad de realidad del infinito actual, y si se dice del contenido no es primariamente sino en cuanto "sensibilizado" y "realizado" en la impresión de realidad. El infinito actual, sensibilizado y realizado, es "de suyo", "en propio", tiene propiedades que se van descubriendo, a la vez, que hay una creación. La inteligencia por ser sentiente y no sensible puede sentir y realizar el infinito actual.
"Sólo una inteligencia sentiente puede por ejemplo no sentir el contenido de un conjunto continuo, esto es el conjunto de los números irracionales, y sin embargo realizar libremente este contenido (conceptuado sea por meras definiciones, sea por operaciones ejecutadas) de un modo sentiente" [128]
La teoría de conjuntos tiene una gran repercusión también en el pensamiento de Zubiri. Aplica la noción de conjunto y de continuidad al espacio y al tiempo, ambos son continuidades reales. El continuo espacial es un conjunto real de continuidad "estante", mientras que el continuo temporal es un conjunto real de continuidad "transcurrente. El tiempo se puede describir como una línea continua simbólica que expresa el "pasar", y cuyos "puntos" son los momentos del tiempo, los "ahoras". Así puede establecerse una correspondencia entre sus elementos y los del continuo espacial. A pesar de que la tendencia natural de la inteligencia es asimilar la línea temporal a la línea espacial, según el autor, no es totalmente correcto. Mientras que en la línea espacial una determinada topología no conduce a una afinidad y ésta, a su vez, no conduce a una métrica determinada, en la línea del tiempo esto es falso, son momentos indisociables la conexión, la dirección y la medida. El continuo temporal no es ni concepto ni intuición. La dificultad de considerar la línea del tiempo como real estriba en que el "ahora-presente" es el momento que tiene existencia puntual, y en tal caso sólo habría conjunto
"...si mentalmente voy copulando unos momentos ya pasados y otros aún futuros al momento presente. Sí, pero en tal caso, la línea temporal como línea sería una mera construcción mental, intuitiva (intuición pura de Kant) o conceptual, poco importa para el caso, porque siempre sería una construcción mental. Lo cual equivale a decir que el tiempo y cuanto de él hemos dicho en todo lo anterior, no tiene realidad ninguna. Ahora bien, esto es inadmisible"[129]
Zubiri afirma que el tiempo como línea continua no es intuición pura, ni una construcción mental, sino construcción transcendental, y, por tanto, algún modo de realidad tiene.
"Porque lo único que el argumento muestra es que el tiempo como línea temporal no es una realidad actual sustantiva, pero no muestra que el tiempo no tenga realidad ninguna... el que la línea temporal no tenga sustantividad no significa que el tiempo no tenga realidad ninguna, es decir, que sea intuición pura o concepto" [130]
La realidad sentida del momento "ahora-presente" es un momento que "de suyo" es un "ahora-de-a". Este momento tiene una continuidad temporal real con el momento pasado (de) y con el momento futuro(a). La propia índole del "ahora-presente" es la que "fuerza" y "obliga" a la copulación de los distintos momentos con éste, por tanto, no es una copulación extrínseca o mental, sino intrínseca o real.
"Lo único que significa es que la línea temporal no cobra su presunta realidad, sino de su articulación —digámoslo así— con el "ahora-presente" Y esta articulación no sólo permite, sino que es justo lo que obliga a hablar de conjunto de momentos del tiempo. Porque la articulación a que nos estamos refiriendo no es una "copulación" extrínseca de momentos pasados con el "ahora-presente", sino que, por el contrario, es la índole misma del "ahora-presente" lo que fuerza a aquella copulación. Con lo cual ésta ya no es extrínseca, sino intrínseca al "ahora-presente"[131]. "
Zubiri insiste en que es la conjunción real del "ahora-presente" la que nos fuerza a su despliegue "lineal". El momento de imposición en la construcción es lo que permite hablar de construcción real y no mental, esto es, meramente puesta por mí.
"En cada "ahora-presente" existe formalmente una conjunción real. Y, por tanto, es este carácter real el que fuerza a un despliegue "lineal", que es la prolongación de la conjunción real de cada "ahora". Este conjunto no tiene la misma actualidad que el conjunto de puntos de una línea espacial, pero es más que una mera construcción mental. Porque la línea del tiempo como algo actual es ciertamente una línea construida; pero la construimos llevados a impulsos y de la mano de la conjunción real y no mental de cada "ahora-presente" con su pasado y futuro propios"[132]
Zubiri hace una precisión a la teoría de conjuntos. Consiste en la distinción entre "pertenecer" a un conjunto y la del "modo de estar" en el conjunto. Porque se puede pertenecer de un modo "estante" o de un modo "transcurrente".
"Como los elementos de que se ocupa la teoría de conjuntos gozan en general de esta condición, no suele hacerse esta distinción entre "pertenencia" y "estancia-entre". Pero como la distinción existe, queda abierta la cuestión de lo que sucedería si hubiera elementos cuyo modo de estar, fuera distinto de "estancia-entre". Entonces los elementos tendrían un tipo de conjunción distinto. Pues bien, es justo lo que acontece con ese elemento, que llamamos ‘ahora-presente’"[133]
Sobre la base de esta distinción, puede decirse que la unidad del continuo espacial es la unidad "estante" o de "estancia-entre" los demás puntos, mientras que la unidad del continuo temporal es la unidad transcurrente o de "estar de paso". El "ahora-presente" consiste en "venir-de" e "ir-a", es un paso que "va-de-a". Es, pues, este momento el que tiene continuidad temporal real con su pasado y su futuro. Tanto al espacio como al tiempo conviene, dice Zubiri, la noción de conjunto; y en ambos casos la continuidad de sus puntos o momentos es una conjunción real y no mental. Es una construcción real. El continuo espacio-temporal es un constructo transcendental. La propia índole de sus momentos nos fuerza a su conjunción.
2. Constructivismo Transcendental de la Matemática: nexo entre Metafísica y Lógica.
Brunschvicg señala que en Aristóteles hay conexión entre Metafísica y Lógica, y sólo después de él se desvincula la lógica de la metafísica, pretendiendo de este modo alcanzar una mayor cientificidad cuando en realidad lo único conseguido ha sido oscurecer su carácter de ciencia.
"...Los principio de su lógica [de Aristóteles] eran dependientes de los principios de su física y de su metafísica. Después de él se ha borrado la inteligencia de la conexión entre el silogismo y la ontología: la lógica se ha convertido en una deducción rigurosamente formal en que la sola expresión verbal bastaba para justificar las conclusiones; se ha creído así darle el valor de una ciencia autónoma y positiva, en tanto que no se hacía más que oscurecer la idea verdadera de la ciencia."[134]
Russell trata de asimilar la Matemática a esta lógica separada de la ontología. Se oscurece de este modo la idea de la matemática como verdadera ciencia, y se hace de ella más bien un cálculo. Zubiri, por el contrario, restablece el nexo de la lógica con la metafísica: la lógica de la intelección afirmativa de lo real. La repercusión de esta nueva consideración de la lógica es inmediata en el campo de la matemática. La matemática respeta las leyes lógicas, pero no se reduce a ellas. A la base de la construcción matemática hemos visto que está el ámbito transcendental de realidad. De ahí que Zubiri diga que la estructura de la matemática no es mera estructura lógica sino trans-lógica, esto es, trans-cendental. Tanto la lógica como la metafísica tienen un papel en la matemática, y reducir ésta a la primera es una "desviación" de la naturaleza de lo matemático. Esto es lo que ha sucedido en el logicismo. Dice Russell:
"Pero ambas han evolucionado en los tiempos modernos: la Lógica se ha hecho más matemática y la Matemática más lógica. La consecuencia es que ahora es completamente imposible trazar una línea entre las dos; las dos son, efectivamente, una sola cosa. Difieren como un muchacho de un hombre: la Lógica es la juventud de la Matemática, y la Matemática la plenitud de la Lógica."[135]
A continuación vamos a ver que la lógica formal no es fundamento de la matemática Ella misma está fundada en la lógica de la afirmación.
2.1 Lógica de la afirmación: fundamento de la lógica formal.
En su tesis doctoral, Teoría fenomenológica del juicio, Zubiri presenta la lógica como una ciencia ideal, objetiva, autónoma, en cuanto que no implica la existencia de su objeto. Este carácter a priori le garantiza la evidencia apodíctica de su objeto. Sin embargo, expresa sus reservas ante la vigencia absoluta de la lógica formal o simbólica por dos razones:
1. En primer lugar, porque la lógica formal simboliza, a través de signos, los términos y las relaciones, haciendo del juicio un puro cálculo. "Por grande que sea la utilidad del simbolismo, no habrá de olvidarse nunca que su valor es de pura utilidad y no de verdad" [136]
2. En segundo lugar, ésta prescinde del contenido o intensión de los términos y se fija meramente en la extensión de las relaciones.; "pero ya demostramos, dice Zubiri, que la extensión es corolario de la comprensión; y por consiguiente, toda lógica simbólica está esencialmente subordinada a una lógica pura o de contenido"[137] No puede fundarse, como piensa la logística, la relación de extensión entre dos conceptos, sin basarnos previamente en el contenido intrínseco de los mismos, de lo contrario, ¿cómo podría decirse que el sujeto está incluido en la clase de objetos del predicado?
En esta primera consideración de la lógica, la conclusión zubiriana es pues que la lógica simbólica o formal tiene que fundarse en la lógica de contenido. En Naturaleza, Historia, Dios, Zubiri expresa la necesidad de una lógica de realidad [138].
Posteriormente en Sobre la esencia, Zubiri hace una crítica de la lógica clásica en cuanto lógica predicativa. Esta vía tiene tres limitaciones:
"la lógica predicativa tiene, para los efectos de nuestro problema, cuando menos, tres limitaciones: la identificación del logos esencial con la definición, la identificación del logos con el logos predicativo, y la identificación del sujeto del logos con una realidad subjetual"[139]
Las objeciones de Zubiri son:
1. El logos esencial no es necesariamente una definición.
2. La predicación no es la forma primaria de aprehensión afirmativa de la realidad; existe un logos ante-predicativo o "logos nominal". La predicación es una conceptualización y esta vía no es nunca primaria.
3. El correlato real del nombre no es un sujeto sino una estructura o constructo de notas.
En Inteligencia y Logos Zubiri elabora claramente su concepción sobre la lógica, y lo que anteriormente apuntaba como lógica de contenido, lógica de realidad, o lógica no-predicativa, lo vemos aquí como lógica de la intelección afirmativa de lo real, ésta es el fundamento de la lógica formal. La lógica simbólica o lógica formal toma los términos de una afirmación como meras variables, una sería sujeto A y la otra predicado B, la única diferencia está en la función que desempeñan, por otra parte ésta puede ser convertible: el predicado B puede pasar a ser el sujeto A y viceversa, únicamente teniendo en cuenta el uso de los cuantificadores. Es lo que en lógica formal se denomina "conversión" de las proposiciones. A y B difieren solamente en su posición y en la cuantificación. Para Zubiri, esto es incorrecto. La logificación o formalización es lo que pone en pie de igualdad a las dos variables: A y B, como si se tratase de dos términos absolutamente homogéneos. Ahora bien, "su diferencia formal es siempre esencial e incanjeable". A es el objeto real pro-puesto para emitir un juicio sobre él. B, por el contrario, no es real sino un término irreal, una simple aprehensión (percepto, ficto o concepto), pero que se realiza en A, es un irreal realizado. La afirmación no consiste en la relación de dos términos A y B, ni en subsumir uno en otro: A en B para conceptuarlo; sino que la afirmación es la realización de B en la realidad de A. Esta realización tiene carácter conectivo. Ciertamente B se relaciona con A, pero a posteriori de la realización de B en A. Desde esta consideración del juicio como afirmación o realización de una simple aprehensión en una realidad dada en aprehensión primordial, vemos que A y B son esencialmente distintos. En la "conversión" de un juicio la realidad pro-puesta pasa a ser irreal realizado y viceversa. Esto no puede olvidarse.
"Por esto la llamada lógica formal se apoya en la relación resultante de la afirmación conectiva. Ahora vemos que esta lógica no es lo primario, porque la relación formal entre A y B se funda en la afirmación conectiva de realización de B en A. Esto es, toda lógica formal se funda en una lógica más radical, en la lógica de la afirmación. La ‘lógica formal’ es el juego de dos variables homogéneas. Mientras que la "lógica de la afirmación" es la intelección de la realización de algo irreal (B) en algo ya real (A). Y esto es lo esencial: la lógica de la intelección afirmativa de lo real"[140]
Y un poco más adelante, añade una idea esencial, y de gran repercusión para la filosofía de la matemática,
"no se trata de invalidar la moderna lógica formal sino de fundarla en la lógica de la afirmación"[141]
Esta consideración de Zubiri es enormemente clarificadora, como decimos, para la filosofía de la lógica y de la matemática. Según nuestra interpretación, extraemos sus últimas consecuencias. La lógica formal (o lo que nosotros denominamos lógica concipiente), como pura relación de conceptos, no tiene un carácter último sino que requiere de fundamentación. La lógica de la intelección afirmativa de lo real (o lo que denominamos lógica sentiente) es la que fundamenta la lógica formal o lógica concipiente. Pues bien, sólo la lógica de la afirmación es adecuada a la matemática, en tanto que ciencia de realidad. En la lógica formal se parte de una objetividad, A, y en el juicio se realiza la intencionalidad de B en A. En la lógica de la afirmación se parte de una realidad pro-puesta y se realiza la irrealidad de B en A. Es la realidad la que tiene el carácter fundante último en lógica y matemática.
"De ahí que, para los efectos de la intelección, la necesidad de los principios de las afirmaciones no está en los conceptos sino en la realidad intelectual de mis afirmaciones. Esta realidad es, pues, algo dado y no algo concebido. Las verdades lógicas no son necesidades de conceptos sino caracteres de realidad dada. Si no se puede pensar lo contrario de ellos, no es porque su verdad sea eterna, sino porque la realidad inteligida misma como realidad, esto es, la afirmación en cuanto afirmada, es la que no puede ser de otra manera"[142]
La lógica formal no es fundamento de la matemática. Metafísica y Lógica están conexionadas en la matemática. Esta consideración repercute en la cuestión que Turing se planteó:¿Puede pensar una máquina? Si la matemática fuera puro cálculo lógico esta claro que puede realizarlo una máquina, pero si, como vemos en el constructivismo transcendental, la matemática es una construcción en "la" realidad, la pregunta adquiere mayor gravedad: ¿cómo construye la matemática una máquina? Lo vemos a continuación.
2.2 ¿Puede construir transcendentalmente la matemática una Máquina?
Abordamos este punto con un esquema conceptual integrado por la pareja de conceptos: formalización- hiperformalización, a la cual se une respectivamente esta otra: independencia de objetividad- independencia de realidad. Formalización es, para Zubiri, independencia, alteridad en que "queda" el contenido en la aprehensión. La formalización es un modo de "quedar" el contenido en cuanto independiente; es autonomización del contenido respecto del animal aprehensor. La máxima formalización se torna en hiper-formalización. Así, mientras que la formalización es independencia de objetividad, la hiperformalización es independencia de realidad. "La hiperformalización, dice Zubiri, es el paso de la independencia objetiva a la reidad."[143] La formalización y la hiperformalización son estructuras anatomo-fisiológicas: la formalización es una estructura orgánica del animal y la hiperformalización es una estructura orgánica del ser humano.
"Es que a título de hipótesis pienso que el cerebro no es primariamente órgano de integración (Sherrington) ni órgano de significación (Brickner), sino que en nuestro problema es órgano de formalización, una formalización que culmina en la corticalización. Me basta con aludir, por ejemplo, a los servo-mecanismos o a ciertas áreas frontales. La formalización es una estructura rigurosamente anatomo-fisiológica" [144]
En la escala zoológica hay un proceso de formalización, cuanto más formalizado está el animal, los estímulos se le presentan con mayor independencia, pero una independencia que siempre es objetiva. En el hombre hay un salto cualitativo, es animal hiperformalizado. Es resultado de un proceso morfogenético. El animal hiperformalizado es animal de realidades. Esta cuestión es capital.
"El animal es objetivista, y tanto más objetivista cuanto más perfecto sea como animal. Pero no es ni puede ser jamás el más modesto realista. Porque realidad no es mera independencia objetiva respecto del sujeto aprehensor, sino ser "de suyo" antes —prius — de ser lo que es en la aprehensión" [145]
La logificación y formalización de la matemática pareja a la pretensión de encontrar un algoritmo de decisión de los problemas matemáticos ha llevado a la pretensión de construir una inteligencia artificial. Así por ejemplo, dentro de la tipología de las escuelas de la teoría de la administración de empresa, la denominada "Escuela matemática o Management Science" (Simon, Mille, Starr), que toman la matemática como modelo interpretativo de la empresa, tiene como característica que sus métodos permiten tomar decisiones empleando como inputs datos reales y realizando operaciones que puedan ejecutarse mediante calculadoras u ordenadores. Pero ¿puede una máquina pensar?, ¿puede construir la matemática? Dependerá de la habitud con la que se enfrente a las cosas. Cabe decir de la máquina lo mismo que Zubiri dice del animal. Una máquina jamás será un "modesto realista". Sólo el hombre es animal de realidades porque es animal hiperformalizado. Una máquina sólo aprehende contenidos pero no la formalidad de realidad, de ahí que no puede moverse en el ámbito de la realidad proyectando en ella el contenido creado. El término inteligencia artificial que tanto se emplea actualmente es totalmente inadecuado para Zubiri. El acto de la inteligencia es impresión de realidad; y un mecanismo electrónico nunca aprehende realidad. Lo que ejecuta el mecanismo electrónico no es construcción transcendental matemática porque concierne meramente al contenido y no a la formalidad de realidad. A pesar de las combinaciones, incluso selectivas, que lleva a cabo un mecanismo electrónico, no significa que construya la matemática.
"La filosofía clásica ha resbalado sobre la impresión de realidad. Es esta impresión, sin embargo, lo que constituye el inteligir primordial, y no las combinaciones, incluso selectivas, de lo que suele llamarse inteligencia animal. Mucho menos aún puede hablarse, como es hoy frecuente, de inteligencia artificial. Tanto en un caso como en otro, lo ejecutado, sea por el animal, sea por el mecanismo electrónico, no es inteligencia, porque todo ello concierne tan sólo al contenido de la impresión, pero no a su formalidad de realidad. Son impresiones de contenido, pero sin formalidad de realidad. Por eso es por lo que no son inteligencia"[146]
Vemos esquemáticamente, desde nuestra interpretación de Zubiri, las diferencias entre la inteligencia matemática y una máquina de Turing.
Caracteres comparados de
máquina de Turing
inteligencia matemática
1. Estructura formalización-
conclusión de los estímulos
Nivel de la especificidad.
1. Estructura hiperformalización-
inconclusión de estímulos.
Nivel de la inespecificidad.
2. Hecho:actualización de potencias.
Esencia: Necesidad
2. Suceso: opción de posibilidades.
Esencia: Libertad 3 Momento: impresión de contenido
3. Momentos: contenido, formalidad, fuerza de imposición de realidad
4. Función técnica: crear conceptos y emitir juicios
4. Función biológica: hacerse cargo de la realidad
La pregunta de Turing: ¿puede pensar una máquina?, la concretamos en ¿puede construir transcendentalmente la matemática una máquina? Porque no se trata de pensar conceptivamente o mentalmente, sino de construir en "la" realidad. La respuesta zubiriana es clara: no. Lo que da que pensar es el carácter abierto de la realidad, un carácter inespecífico y respectivo. Sólo una inteligencia sentiente tiene impresión de realidad junto con el contenido específico. Una máquina sólo tiene impresión de contenido específico. La construcción transcendental no es debido a algún tipo de sustancia, o algo parecido, sino que es un principio estructural morfogenético del hombre, la hiperformalización
. Por lo tanto, no es que de hecho no haya hasta ahora ninguna máquina que piense, y que la complicación de la técnica y del conocimiento nos permita algún día llegar a lograrlo, como se ha hecho en la ciencia ficción con los robots inteligentes; sino que es inviable la hiperformalización de un mecanismo electrónico.En el ser humano, a diferencia de la máquina, los estímulos suscitan no sólo la actividad específica sino también la actividad inespecífica neuro-funcional de la corteza que por hiperformaliza-ción nos abre a "la" realidad. Sentimos "realmente" el estímulo y no sólo estimúlicamente, esto es así porque nuestro sentir es intelectivo o nuestra intelección es sentiente. La inespecificidad de la realidad tiene el carácter positivo de la transcendentalidad. La apertura de la realidad en cuanto campalmente aprehendida es lo que pone en marcha la inteligencia, y esta marcha es la actividad pensante.
"La inconclusión de los impulsos abre el área de la inespecificidad de lo real, la cual es ámbito de una inexorable opción" [147]
Sólo instalados sentientemente en la realidad podemos pensar, ésa es su posibilidad y su problematismo. El conocimiento será una actualidad de la realidad ya aprehendida sentientemente en la aprehensión primordial de realidad pero enriquecida en su contenido, esto es, en lo que es "realmente" en "la" realidad. Una máquina nunca llegará a una actualidad de la realidad, sólo podrá crear conceptos, combinar conceptos, aplicar reglas a conceptos, pero el resultado es un puro conceptismo y nunca una actualidad de realidad. Pensar es bucear en la realidad misma de lo real. Una máquina de Turing puede identificarse con la inteligencia concipiente, que se mueve en conceptos de realidad; pero nunca con una inteligencia sentiente que marcha en la "física" realidad actualizada en intelección. El transcendentalismo de la matemática implica que ésta es una ciencia elaborada por una inteligencia sentiente y no por un mecanismo electrónico. Éste podra realizar cálculos o distintos tipos de operaciones según el contenido, pero no podrá construir transcendentalmente la matemática; para ello tendría que sentir "la" realidad, y, a su vez, esto exigiría que sus estructuras estuviesen hiperformalizadas.
A.M. Turing en el citado ensayo señala una serie de objeciones[148] al hecho de que las máquinas puedan pensar a fin de ir refutándolas y sostener la respuesta afirmativa. La objeción que plantearía Zubiri consiste en sostener la inviabilidad de la hiperformalización de un mecanismo electrónico, de ahí que sus procesos mecánicos no se muevan en la realidad, y, por tanto, no piense. Si el ámbito transcendental está a la base de la matemática, si la metafísica es el principio de la matemática y si ésta no es pura lógica, entonces una máquina no puede construir la matemática.
2.2.1 Equivalencia entre sistema formal y "Máquina de Turing"
La irreductibilidad de la matemática, en cuanto ciencia de realidad, a un mecanismo electrónico o Máquina de Turing tiene implícita la cuestión de la reducción de los sistemas formales (y la logificación de la matemática) a un mecanismo electrónico o Maquina de Turing. Analizamos más detalladamente este punto.
Sobradamente hemos reflejado en esta tesis la honda preocupación de Gödel por la formalización y logificación de la matemática y cómo con sus resultados ha iluminado profundamente esta cuestión. Gödel (1964) considera que la esencia de un sistema formal es la operación mecánica, que reemplaza al razonamiento, con filas de signos y que produce fórmulas deducibles. Teniendo en cuenta la aportación de A. M. Turing, precisa su noción de sistema formal y la identifica con un conjunto recursivamente enumerable o generado por una máquina de Turing. Dice Gödel:
"La obra de Turing proporciona un análisis del concepto de "procedimiento mecánico" ("algoritmo", "procedimiento computa- cional" o "procedimiento combinatorio finito"). Se ha probado que este concepto es equivalente al de "Máquina de Turing". [149]
A esto Zubiri sólo tendría que añadir que todos estos términos equivalentes: sistema formal, algoritmo, computabilidad, procedimiento combinatorio finito, máquina de Turing, son la realización de una inteligencia concipiente o de una razón concipiente. Y a ellos se ajusta la concepción generalizada de la matemática como operación o puro cálculo. Cualquiera de estos conceptos son paradigma de racionalidad concipiente y desde él se considera irracional o arbitrario todo lo que no sea "computable", relegándolo de la epistemología al terreno psicológico o sociológico. El positivismo lógico es la concepción que más claramente ha defendido este modelo algorítmico de racionalidad. Popper acepta también este modelo y califica de irracional la creación científica por no ajustarse a ese patrón. Pero, como piensa Harold I. Brown[150]
, es un extraño concepto de racionalidad el que es equiparable a lógico, a tautológico y a mecánico: algo es racional en la medida que sigue reglas mecánicas; mientras que cualquier acto creativo es arracional. Él sostiene que más bien aquellas decisiones que pueden hacerse siguiendo una mera aplicación de un algoritmo son casos paradigmáticos de situaciones en las que la racionalidad no se necesita, esto es una tarea que puede hacer una máquina, porque no hay que pensar. Es precisamente en aquellos casos en los que se requiere una decisión o una nueva idea que no puede ser hallada por la aplicación de reglas mecánicas cuando hay que pensar y se requiere la razón.La capacidad humana de resolución de problemas es mucho más amplia que la de una máquina. Gödel sostiene que los resultados que él ha obtenido —existen sentencias aritméticas indecidibles y no se puede probar la consistencia del sistema dentro del mismo sistema— no significan la limitación de la razón humana sino del puro formalismo matemático.
"no establecen límites de la capacidad de la razón humana, sino más bien de las posibilidades del puro formalismo en matemáticas"[151]
Y en la nota a que nos remite este texto, añadida con posterioridad a 1964, nos dice:
"Turing, en Proc. Lond. Math. Soc., 42 (l937), pág. 250, ofrece una argumentación que se supone muestra que los procedimientos mentales no pueden llevar más lejos que los procedimientos mecánicos. Sin embargo esta argumentación es inconcluyente, pues depende de la suposición de que una mente finita sólo es susceptible de tener un número finito de estados distinguibles. De lo que Turing no se da cuenta es del hecho de que la mente, en su uso, no es estática, sino que está en constante desarrollo... aunque en cada estadio del desarrollo de la mente el número de sus posibles estados es finito, no hay razón ninguna por la que este número no podría converger hacia el infinito en el curso de su desarrollo" [152]
Zubiri profundizando en esta línea de Gödel, y dado que, según nuestra interpretación, identifica sistema formal con inteligencia concipiente, considera que el choque de la formalización de la matemática con los resultados nuevos de la lógica matemática nos lleva a una profunda revisión del punto de partida: nuestra noción de inteligencia. Lo que se nos ha hecho problema es qué sea inteligencia o razón. El problema capital es saber si la inteligencia está o no en "la" realidad, y se mueve o no en ella. Ya hemos tratado esta cuestión en el capítulo anterior, el constructivismo sentiente de la matemática. Desde inteligencia sentiente se entiende y se corrobora perfectamente la expresión de Gödel "la mente, en su uso, no es estática, sino que está en constante desarrollo". La razón sentiente es marcha inquiriente y es así porque siente la realidad que es formalidad abierta a la respectividad de lo real en cuanto tal. La realidad no tiene una estructura lógica sino una respectividad mundanal, por ello no puede ser abordada desde un sistema formal. La realidad siempre es más que cualquier contenido específico, por eso ninguno puede agotarla. La matemática es ciencia de realidad, si bien, como vimos, realidad postulada, por eso no puede ser formalizada según un sistema de conceptos y reglas. La matemática es construcción de inteligencia sentiente, es construcción transcendental.
2.3 El Teorema de indecidibilidad de la aritmética de Church.
De todos los problemas de la metamatemática, el de la decidibilidad es el de mayor pretensión. A partir de un lenguaje formalizado se plantea si un ‘procedimiento universal’ casi mecánico, como una máquina de Turing, nos permite decidir el valor de verdad de una fórmula en un número finito de pasos. Esta tradición de tipo algorítmico se remonta a Ramón LLull en la Edad Media y a Leibniz, en la Edad Moderna; y la escuela de Hilbert creyó estar cerca de su solución. Pero veremos que sólo hay resultados negativos.
En lógica de juntores existen procedimientos algorítmicos, por ejemplo: las tablas de verdad y el método de reducción a formas normales que nos permiten probar si son verdaderas, esto es, tautologías, y de ahí concluir que son deducibles. Se parte de la identificación entre verdad y deducibilidad (consecuencia de la logificación de la intelección matemática). A. Church, en 1936, probó la indecidibilidad de la aritmética. No puede encontrarse para la teoría elemental de números una solución general para el problema de la decisión. El sistema formal de la aritmética es pues indecidible. Posteriormente, con base en este resultado, Church probó la indecidibilidad de la lógica elemental.
Gödel halló propiedades indecidibles, la afirmación de consistencia es ella misma también indecidible dentro de un sistema formal dado. Y esto, ya lo vimos, es debido al carácter abierto de la realidad, y por tanto, nunca tendremos todas las notas que nos permita comprobar si son consistentes o no. Entre K. Gödel y P. Cohen demostraron la indecidibilidad de la hipótesis del Continuo, puesto que es consistente tanto la hipótesis del continuo como su negación con el conjunto de axiomas iniciales del sistema formal. Ni la hipótesis del continuo ni su negación son demostrables en T.
Este teorema de indecidibilidad de la aritmética de Church, como ocurre con el teorema de incompletitud de Gödel, tiene un gran alcance filosófico, en general, y de un modo preeminente en la filosofía de Zubiri, si bien no resulta explícito dentro de ésta. Esta relevancia del teorema y su carácter implícito en Zubiri ha determinado nuestro objetivo de mostrar hasta qué punto pudo el resultado de indecidibilidad, junto con la incompletitud, configurar la nueva orientación del pensamiento zubiriano frente al legado de filosofía matemática.
La interpretación que presentamos del teorema de indecidibilidad de la aritmética de Church, a falta de haberla encontrado en algún escrito publicado de Zubiri, la elaboramos en estrecho paralelismo con su interpretación del teorema de incompletitud de Gödel. Es más, la interpretación de la incompletitud nos lleva a la interpretación de la indecidibilidad. Incompletitud e indecidibilidad creemos que hacen referencia a dos cuestiones que son congéneres en Zubiri. Esta idea vendría reforzada por la propia conexión que hace Bernays entre completitud y decidibilidad, la incompletitud de un sistema formal de axiomas nos lleva a la indecidibilidad lógica, y esto es así, según él, porque la decidibilidad es un requisito más fuerte que el de completitud. El primer aspecto, desde el pensamiento de Zubiri, tiene primacía. Así encontramos que en 1936, Turing hizo la observación de que un sistema formal si es completo es decidible. Completitud y decidibilidad están conexionados. El resultado de K. Gödel (todo sistema axiomático que incluya la aritmética elemental es incompleto) está estrechamente conexionado con el resultado de A. Church.
La interpretación usual de este teorema de A. Church, igual que en el caso del teorema de Gödel es verlo como una limitación de los sistemas formales. A ambos teoremas les denomina Ladrière:"teoremas de limitación". La afirmación de Manuel Garrido recoge esta línea interpretativa:
"Desde el punto de vista de la filosofía, el interés principal de este aserto está en que por él se establece, o se pretende establecer, la no mecanicidad de la lógica formal... La operación deductiva de la razón no es totalmente mecanizable."[153]
Pues bien, no se trata[154] sólo de una limitación intrínseca de la razón en cuanto mecanizable, que por supuesto es así, sino que deja al descubierto el carácter sentiente de la construcción matemática. No es la insuficiencia de la mecanización racional sino la radical originalidad del carácter sentiente de la intelección matemática. El sentir humano es un sentir hiperformalizado que sólo puede dar una respuesta adecuada haciéndose cargo de la realidad, eligiendo y no meramente seleccionando. Los juicios matemáticos no son juicios de inteligencia concipiente sino juicios de inteligencia sentiente.
La decisión es un momento esencial de una inteligencia sentiente. La realidad sentida "sugiere" a la inteligencia, pero estas sugerencias no son unívocas por lo que la inteligencia tiene que optar o apropiarse una de ellas. Si la inteligencia está en actividad se convierte en esbozo. Es esbozo de lo que lo real podría ser, de la realidad en cuanto fundamento. Este esbozo se comprueba en el campo de realidad, por el que fue sugerido. Puede quedar verificado o no, si no se verifica quedamos remitidos de nuevo a la sugerencia de partida para cambiarla y comenzar un nuevo proceso. Esta decisión pues es sentiente y se mueve en la realidad sentida como sugerencia y como campo de comprobación, y una realidad que se siente no cerrada sino abierta en respectividad en cuanto tal. La marcha de la razón es una auténtica aventura como dice Lakatos, y es una aventura en la apertura inagotable de la realidad sentida. Sólo el movimiento del logos en de unas cosas a otras en el campo de la realidad en parte podría ser mecanizable, pero jamás la marcha de la razón desde la realidad campal a la realidad mundanal. La esencia de la razón, ya lo vimos, es la creación libre, ¿cómo podría entonces mecanizarse?.
Por último, la conexión del teorema de incompletitud y el teorema de indecidibilidad, desde nuestra interpretación de Zubiri, se puede sintetizar en este esquema:
INCOMPLETITUD
INDECIDIBILIDAD
Anterioridad de la realidad
sobre la verdadAnterioridad de la inteligencia sentiente
sobre la inteligencia concipienteSon dos aspectos congéneres en el pensamiento zubiriano.
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NOTAS
[1] TFJ p.36^[4] IS p.114. Subrayado nuestro.^
[12] Aunque Gödel compartía alguna de las tesis del Positivismo Lógico, siempre rechazó su postura antimetafísica. ^
[13] Heyting, Introducción al Intuicionismo, p. 14^
[20] A. Ferraz, "El espacio en la metafísica de Zubiri", p.81, el subrayado es nuestro.^
[21] I. Ellacuría, "El espacio", p.484^
[22] Constituir y construir son sinónimos en Zubiri.^
[28] Zubiri al caracterizar la realidad como formalidad de "suyo" nos sitúa en una vía del enfrentamiento con las cosas. Pero esta explicación no es una definición.
"Realidad es ese "de suyo" de las cosas. No es, claro está, una definición, pero es una explicación. Toda explicación coloca lo explicado en una cierta línea. En tal caso de la realidad ha solido colocársela en la línea de los conceptos. Aquí, en cambio, colocamos la realidad en la línea del enfrentamiento inmediato con las cosas. Y en esta línea, la realidad es el "de suyo"." SE 395^
[35] Ya hemos dicho que está inédito, así que cuanto digamos se basa en los resúmenes sobre el mismo tanto de I. Ellacuría como de A. Ferraz.^
[36] A. Ferraz Fayos "El espacio en la metafísica de Zubiri" p.83^
[37] Las nociones interior y exterior (intus, ex) son básicas en topología, una de las ramas más activas de la matemática moderna, y en Zubiri son claves de la estructura de la realidad. Del mismo modo que Kurt Lewin, uno de los representantes del no reduccionismo en psicología, ha elegido la geometría topológica como útil para la psicología en cuanto que la relación persona-ambiente se expresa mejor en el espacio topológico, Zubiri toma la geometría topológica en función de su concepción de la realidad.^
[39] I. Ellacuría, "El Espacio" 497^
[41] A. Ferraz, art.cit. p.88^
[42] I.Ellacuría, art. cit, p.507^
[44] Kant, Crítica de la Razón pura, B 41^
[45] I. Ellacuría, art. cit. p.483^
[49] I. Ellacuría, art. cit. 484^
[58] Roger Apéry, "Matemática constructiva", en Pensar la matemática. (p. 217-233) p. 222^
[70] En Inteligencia y Logos, pp. 133-146. Constituye un auténtica filosofía de la matemática: Un nuevo Constructivismo.^
[72] Jean Ladrière: Limitaciones internas de los formalismos, p. 341^
[73] M.Kline, El pensamiento matemático. III. pág. 1596^
[74] W. y M. Kneale, El desarrollo de la lógica. p. 673. La cita interna es de Russell, op. cit. Londres, 1919, pp.194-5^
[77] IL p.138, el subrayado es nuestro.^
[79] Afirma que por un punto fijo dado sólo puede trazarse una recta paralela a una recta dada.^
[80] Afirma que si
a es cualquier colección de conjuntos {A,B,...} y ninguno de los conjuntos de a es vacío, entonces existe un conjunto Z que consta precisamente de un elemento de A, uno de B, etc., así a través de todos los conjuntos de a.^[81] Paul J. Cohen y Reuben Hersh, "teoría de conjuntos no cantoriana" (1967) en Matemáticas en el mundo moderno (pp. 238-247) p. 246^
[82] IL.p.145-6, subrayado nuestro.^
[83] Hao Wang distingue dos etapas en Gödel: 1. de 1929-1943 de investigación y valiosas contribuciones en el campo de la lógica matemática, y 2. de 1943-1978 de dedicación y gran interés por la filosofía de la matemática. Cfr. Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 47.^
[84] Carta que dirige Gödel a Mr. Grandjean en 1975 pero que no envió, recogido por Hao Wang, en Reflexiones sobre Kurt Gödel, 57. Hao Wang nos dice en la p. 61 que las consecuencias filosóficas de sus resultados se consideran ampliamente en sus dos ensayos escritos en la década de los 50, pero no publicados, La Gibbs Lecture y el ensayo sobre Carnap.^
[85] Desde 1926 hasta probablemente 1933, participa en los seminarios del Círculo de Moritz Schlick -lo que será más tarde el Círculo de Viena-.^
[86] El Positivismo Lógico tiene como precursor fundamental a Russell -en concreto su obra conjunta con Whitehead: Principia Mathematica (1910-1913) va a tener un gran significado en este Círculo-. Son precursores también: el Wittgenstein del Tractatus Lógico-Philosophicus ; los lógicos: Leibniz, Peano, Frege; los axiomatistas: Pasch, Peano, Hilbert.^
[87] Gödel, Supplement to the second edition (Suplemento a la segunda edición (de "¿Qué es el problema del continuo de Cantor?"] ) (1963), Obras completas, p. 427 (subrayado nuestro).^
[88] Véase Penelope Maddy: " Gödelian Platonism" en Realism in Mathematics, Oxford University Press, New York, 1992 (2ª ed.) pp. 75-80^
[89] J. Mosterín, trad. cast. de Obras completas de Gödel, en la introducción que hace a la traducción del Suplemento a la segunda edición [de "¿Qué es el problema del continuo de Cantor?]
p. 422.^[93] Poincaré tampoco sostiene un mero convencionalismo en la geometría. Según este autor, la convención no es arbitrariedad. Está condicionada por el conjunto de conceptos científicos ya creados, y por la experiencia. Todo sistema geométrico o numérico es una convención; pero unas convenciones resultan más idóneas que otras para determinados fines. (Dejamos para un trabajo posterior el análisis comparado del realismo matemático y el convencionalismo de Poincaré.) Otro signo distinto tienen las concepciones del positivismo lógico y la popperiana. La crítica común es que parten de inteligencia concipiente y desde ella los conceptos son meramente construidos y resultan independientes de la realidad. Y es que si partimos de la dualidad entre sentir e inteligir y, además, sólo se nos da lo sensible y nuestros conceptos son conceptos de lo sensible, nunca podemos dar el salto a la realidad. Sin embargo, en inteligencia sentiente por muy abstracto que resulte, por ejemplo, el número irracional es una construcción sentiente en la realidad dada en aprehensión primordial de realidad, y por tanto el método y la probación de verdad transcurrirán penosamente en "la" realidad.^
[95] "Dimensión histórica del ser humano". 1974.^
[97] Nagel, Estructura de la ciencia, p.209^
[100] Hempel, "La geometría y la ciencia empírica", en Matemática, Verdad, Realidad, pp. 33-49^
[102] Ver, Raymond L. Wilder, " El método axiomático", en Matemática, Verdad, Realidad, Pp. 49-79^
[104] Un conjunto infinito es aquel que puede ser puesto en corresponden-cia con un subconjunto suyo, por ejemplo, el conjunto infinito de los números naturales puede ponerse en correspondencia biunívoca con los números pares, con los números impares, con los cuadrados de los números naturales, etc. Esta propiedad no la poseen los conjuntos finitos que siempre serán mayores que cualquier subconjunto suyo.^
[105] A los conjuntos infinitos equivalentes se les asigna el mismo número transfinito. Aquellos conjuntos infinitos que pueden ponerse en correspon-dencia biunívoca con los números naturales se les denomina conjuntos numerables; a todos ellos se les atribuye el número cardinal transfinito denominado "aleph sub cero" (À
0) Por el contrario, aquellos conjuntos que no pueden ponerse en correspondencia con los números naturales porque son mayores que éste se denominan conjuntos no numerables. Así, por ejemplo, el conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 es no numerable. Su número cardinal es denominado "el número cardinal del continuo" . ^[106] El Teorema de Cantor afirma que el cardinal del conjunto potencia formado por todos los subconjuntos de un conjunto es mayor que el cardinal de un conjunto.^
[107] El continuo es el conjunto potencia de un conjunto numerable. Puede ser el conjunto de todos los números reales, el conjunto de todos los puntos entre dos extremos en un línea.^
[108] S. Körner, The philosophy of mathematics, trad. cast. p. 6^
[110] Zubiri expone en estos términos la postura finitista de Kronecker en IL. p. 140^
[113] Heyting, Introducción al Intuicionismo, p. 18^
[114] Su postulado de continuidad presupone una noción de conjunto infinito semejante a la elaborada por Cantor.^
[115] Como señala Körner (opus. cit. 141) si eliminásemos de la matemática todos los términos que son no- empíricos nos quedaríamos sin esta ciencia.^
[116] C. Cañón, La Matemática: creación y descubrimiento. p. 222^
[117] Dice Roger Apery: "[El constructivista] cree en el infinito potencial, no en el infinito actual" ("Matemática constructiva", en Pensar la matemática, p.223)^
[124] TFJ. p. 188, subrayado nuestro.^
[126] Zubiri, "El concepto descriptivo del tiempo", p.13, (el subrayado es nuestro).^
[129] "Concepto descriptivo del tiempo", p. 23^
[134] Brunschvicg, Las etapas de la filosofía matemática , p. 107-8.^
[135] Russell, Introducción a la filosofía de la matemática, (1919) Obras completas. p.1382^
[148] A. M. Turing, "Computing Machinery and Intelligence" en la revista Mind, vol. 59 (1950), n. 236. Trad. cast.¿Puede pensar una máquina? Teorema, Valencia, 1974. En las pp.33-52 Turing va planteando y respondiendo a las siguientes objeciones: la objeción teológica de que Dios ha dado sólo al hombre un alma inmortal a través de la cual puede pensar, La objeción del avestruz de que si las máquinas pensaran las consecuencias serían terribles, la objeción matemática del teorema de Gödel, objeción de la conciencia que tiene sentimientos, argumentos basados en varias incapacidades, argumento basado en la continuidad del sistema nervioso, argumento de la informalidad de la conducta, argumento de la percepción extrasensorial.^
[149] Gödel ,Obras completas, posdata a Sobre sentencias indecidibles de los sistemas formales matemáticos. p. 197^
[150] Ver Harold I. Brown, La nueva filosofía de la ciencia.^
[151] Gödel, Obras completas, posdata a Sobre sentencias indecidibles de los sistemas formales matemáticos. p. 197 ^
[152] Ibid, p. 197. Nota publicada por primera vez en 1974.^
[153] M. Garrido, Lógica simbólica, p. 352^
[154] Ver el paralelismo con la interpretación del teorema de Gödel que hace Zubiri. I.L p.139.^