CAPITULO PRIMERO

MATEMATICA: UNA SUGERENCIA PARA LA

FILOSOFIA ZUBIRIANA

 

1. Introducción.

 

1.1 La Matemática: campo privilegiado de sugerencia filosófica

Zubiri, a diferencia del idealismo, no construye una filosofía sacada meramente de su mente, ni se inventa los problemas filosóficos; él establece una "funcionalidad" entre Filosofía y Ciencia. La ciencia tiene un gran interés filosófico, puesto que los problemas filosóficos vienen sugeridos por los nuevos descubrimientos científicos y las revisiones de los principios que éstos plantean. Expresamente afirma que:

"los problemas filosóficos nacen de la necesidad de fundamentar la ciencia objetiva y de interpretar sus resultados"[1]

Y dentro de las ciencias, nuestra tesis es que Zubiri concede un puesto privilegiado a la Matemática como campo de sugerencias filosóficas, de tal modo que la aseveración anterior puede concretarse del modo siguiente: Los problemas filosóficos zubirianos de la intelección y de la realidad se forjan ante la necesidad de fundamentar la Matemática y de interpretar sus resultados. Este horizonte es determinante para "engendrar" su primera concepción de estos problemas concretos, aunque los desarrollos ulteriores deben, en muchos aspectos, más a las sugerencias de la Biología, de la Física y de otras ciencias. El texto de Zubiri que consideramos clave para defender este aspecto y que ha motivado, en gran parte, la vía de nuestra investigación es:

"Así como la Filosofía moderna nació de la interpretación subjetivista y cosmológica de la Matemática, así la Filosofía contemporánea nace de una interpretación objetivista ideal de la Matemática. Una vez más se pone de relieve el interés filosófico de la matemática y el absurdo de nuestras facultades de Filosofía al no tener cursos de Filosofía matemática ni de Filosofía de las Ciencias"[2].

Para Zubiri la clave del tipo de Filosofía de los distintos períodos está, pues, en la interpretación que se haga de la matemática. Y de forma más específica, los resultados de la matemática conducen a una determinada Filosofía de la Matemática. Por ello es significativo el cuadro cronológico posterior para justificar las etapas y evolución del pensamiento de Zubiri en su filosofía matemática (y como acabamos de decir en toda su filosofía). Se trata de definir el contexto histórico: no como "fichero documental", sino haciendo inteligible "el contenido de un mundo y de una época"

"Y, por lo pronto, toda experiencia surge solamente gracias a nuestra situación."[3]

Esta situación está determinada por muchos factores, pero aquí entresacamos el correspondiente al tema de nuestra tesis: el contexto matemático-lógico. El conocimiento del mismo es de suma importancia porque nos permite de algún modo ser "co-partícipes" no ya de su obra "concebida", sino de la propia "gestación" de su pensamiento,

"la historia ha de tratar de instalar nuestra mente en la situación de los hombres de la época que estudia. No para perderse en turbias profundidades, sino para tratar de repetir mentalmente la experiencia de aquella época, para ver los datos acumulados ‘desde dentro’ " [4].

La historia reciente de la matemática nos muestra cómo los nuevos resultados presentan la necesidad de replantearnos sus fundamentos o principios, y esto no sólo no es negativo, sino que es signo de pujante vitalidad; todo lo contrario de manejar los datos científicos como si fuesen casillas o etiquetas según unas reglas o cánones fijos. Esta situación es terreno fértil para conciliar al matemático con el filósofo. En una auténtica vida intelectual no pueden andar dislocados el trabajo de cada uno de estos ámbitos como tantas veces ha sido defendido; incluso hay numerosos casos en la historia en que se han dado en la misma persona el ser grandes matemáticos y, a su vez, grandes filósofos.

"Una ciencia que se halla en la situación de no poder avanzar, sin tener que retrotraerse a sus principios, es una ciencia que vive en todo instante de ellos. Es ciencia viva, y no simplemente oficio. Esto es, es ciencia con espíritu. Y cuando una ciencia vive, es decir, tiene espíritu, se encuentran en ella, ya lo hemos visto, el científico y el filósofo. Como que la ciencia no es sino espíritu, vida intelectual"[5].

Hacia la mitad del s. XIX se abre un período de crisis en el mundo científico, con especial gravedad en el ámbito de la matemática porque viene siendo usual denominarla ciencia "exacta", ciencia en la que se alcanza un grado de certeza absoluto. Es el paradigma de ciencia, el canon de la verdad y el método adecuado para alcanzar un conocimiento evidente. Y no sólo de la ciencia, sino que incluso ha sido considerado por filósofos-matemáticos —como por ejemplo, Descartes y Husserl[6] que, en nuestra época, radicaliza el programa cartesiano de hacer de la filosofía una ciencia estricta—el modelo a seguir por la filosofía. El escepticismo de los empiristas no ha afectado al ámbito de la matemática, cuyas verdades se denominan verdades de razón o relación de ideas. En cambio las ciencias empíricas, por apoyarse en el principio de causalidad—que no es un dato de experiencia—, quedan relegadas al campo del conocimiento meramente probable, no necesario: tiene su fundamento, según Hume, en el hábito o costumbre. Por ello la crisis en las ciencias "empíricas" no es nueva, en cambio, en las matemáticas supone una auténtica revolución.

Este es el gran reto de la filosofía zubiriana: fundamentar la ciencia matemática, que quiera o no le viene dado por su situación intelectual y dentro de ella por una experiencia básica, que vamos a tratar de reproducir para hacernos con la mentalidad de que parte y "experimentar" su propia génesis filosófica. Sin la componente científico-matemática del contexto histórico-intelectual de Zubiri, no se entendería su obra filosófica. Las ciencias, y en concreto la matemática, "dan que pensar", sobre la realidad física y sobre la índole del conocimiento científico.

"Esta crítica de las ciencias, llevada a cabo por los caminos independientes, va a apurar al filósofo, hasta obligarle a adoptar nuevas posiciones intelectuales."[7]

La crisis de la matemática a finales del s. XIX y principios del s. XX viene trazada por dos frentes distintos: primero por la crisis del carácter intuitivo de la matemática y segundo por la crisis del carácter logicista y formalista de la matemática. La primera la analiza expresamente Zubiri en su tesis doctoral y le vemos plantear las necesidades filosóficas a la que le lleva; la segunda está implícita en Zubiri y mostraremos que es la que plantea la necesidad de un nuevo concepto de intelección y de realidad, definitivos en su pensamiento, y desde los cuales arrojará nueva luz al fundamento y naturaleza de la matemática, y, en general, a cualquier cuestión filosófica. Según nuestra interpretación, la matemática es paradigma de la intelección.

Creemos, con Zubiri, que la exposición de la historia de las matemáticas de finales del siglo XIX y primera mitad del s. XX es necesario

"...bosquejarla, convencido de que sin esta exposición no puede penetrarse el sentido de la nueva filosofía".[8]

1.2. Cuadro cronológico de Zubiri en su contexto matemático-lógico.

Contexto matemático-lógico Filosofía de la matemática	Zubiri: datos de su biografía intelectual
1781 Kant: Crítica de la razón pura
1825 (editado en l932) J.Bolyai construye una geometría que prescinde del 5º postulado de Euclides.
1829-30 Lobatchevski publica un desarrollo de la geometría hiperbólica
1843 J. S. Mill: System of Logic
1848 (m. 1925) Nace Frege: defensor del programa logicista de la matemática.
1854 Riemann: Sobre las hipótesis en que se basa la geometría
1861 Weierstrass: descubre una curva que no tiene tangente en todo punto
1862 Nace Hilbert (m.1943)
1872 Se publica el llamado "Programa de Erlangen", de Felix Klein, con el título de "Consideraciones’ comparadas sobre las modernas investigaciones geométricas"
1879 Frege: Begriffsschrif
1881 Nace Brouwer (m.1966)
1884 Frege: Fundamentos de la Aritmética.
1889 Peano: Los principios de la geometría lógicamente expuestos
1891 Husserl: Filosofía de la Aritmética Nacen Carnap y Reichenbach
1898	Nace Zubiri en San Sebastián
1899 Hilbert: Fundamentos de geometría
1900 Poincaré: Sobre el rol de la intuición y de la lógica en la matemática Husserl: Logische Utersuchungen
1901 Russell descubre la Paradoja en Teoría de Conjuntos.
1903 Russell: Los principios de la matemática
1904 III Congreso I. de Matemáticas en Heidelberg Hilbert rechaza la fundamentación intuicionista de Kronecker.
1905 Nace Hempel. Poincaré: La matemática, la lógica y el valor de la ciencia
1906 Nace Gödel en Brünn (Moravia)
1907 Poincaré y Koebe (anteriormente Klein) dieron independientemente una demostración del teorema de uniformización para funciones.
1908 Poincaré: Ciencia y método
1910-13 Principia Mathematica, de Whitehead y Russell.
1912 Brunschvicg: Les étapes de la philosophie mathematique.
1913 Husserl: Filosofía fenomenológica
1914 Nace la Topología Hausdorff dio la definición correcta de espacio topológico.
1918 Muerte de Cantor
1919 Russell: Introducción a la filosofía matemática Husserl: Lógica formal y lógica trascendental
1920	Comienza en el Instituto Superior de Filosofía de Lovaina los cursos para obtener la Licenciatura en Filosofía (que defiende al año siguiente). Asiste a los cursos de física y matemáticas con La Vallé-Poussin.
1921 Wittgenstein: Tractatus lógico-philosophicus	Tesina: Le probleme de l’ objetivité d’ après Ed. Husserl: I. La logique pure. Universidad de Lovaina.   Tesis doctoral de Zubiri: Teoría Fenomenológica del Juicio" (que se publicará en 1923)   Etapa objetivista.
1925 Urysohn demostró la condición necesaria y suficiente para que un espacio separable sea metrizable.   Muerte de Frege
1928 Ponencia de Hilbert en el Congreso I. de Matemáticos en Bolonia	Asiste a cursos y conferencias de Husserl y Heidegger, en Alemania.
1929 Tarski muestra la imposibilidad de reducir la verdad a la demostrabilidad en un sistema deductivo	[1929-30] Durante este curso estudia en Berlín física teórica, matemáti- cas, ciencias naturales, etc.
1930 Ensayo de Gödel sobre la completitud de la lógica elemental.   Congreso en Könisberg: Carnap, Heyting, v. Newmann, Gödel, K.Menger.
1931 Ensayo de Gödel sobre la incompletitud de la aritmética. "Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los "Principia Mathematica" y sistemas conexos"   Correspondencia de Gödel con Zermelo. Comienza a trabajar en la hipótesis del continuo y el intuicionismo.	Zubiri está en Berlín, donde funciona el Círculo de Berlín. Resulta probable que tuviera conocimiento del artículo de Gödel.
1932	Etapa ontológica de Zubiri, hasta 1944.   Gödel pudo influir en el abandono de la filosofía objetivista de la matemática.
1933 Tarski. Trabajo sobre el concepto de verdad en los lenguajes formales. En la sociedad de ciencias de Varsovia.   Hahnn: Lógica, matemática y conocimiento de la naturaleza.   Primer encuentro de Gödel con Einstein en América.
1935 Gödel descubre los conjuntos constructibles y su propiedad de ser modelos de los axiomas normales de la teoría de conjuntos.   I Congreso Internacional de filosofía científica en la Sorbona de París.   Carnap: Filosofía y sintaxis lógic
1936 Schlick es asesinado   Ayer: Lenguaje, Verdad y lógica.   Church demostró la indecidibilidad de la teoría elemental de números o aritmética.   Turing y Post, independientemente, llegan a un concepto preciso de computación.
1937 El Círculo de Viena organiza el tercer Congreso de filosofía en París.   Brunschvicg preside el congreso I. de filosofía. Hasta 1940 es profesor en la Sorbona.	Desde 1936 a l939 Zubiri estuvo en París. donde profundiza entre otras ciencias en la matemática en contacto con eminentes especialistas.
1939 (8) Gödel publica la prueba de consistencia de la hipótesis del continuo.   Conjuntos constructibles.
1940 Gödel y su esposa Adele emigran a Princeton (New Jersey)
1942 Gödel comienza a tener frecuentes contactos con Einstein que perdurarán hasta la muerte de E. en l955.
1943 Muerte de Hilbert
1944 (43) Gödel publica el ensayo sobre Russell, primer ensayo filosófico	Comienzo de la etapa metafísica de Zubiri Publica: Naturaleza, Historia, Dios.
1946 Gödel se convierte en miembro permanente del I.A.S. Da una conferencia en la celebración del bicentenario de la Universidad de Princeton sobre problemas de las matematicas.	Zubiri tiene en la Universidad de Princeton una intervención en francés: Le réel et les mathematiques: un problem de philosophie.   El posible encuentro con Gödel será de gran trascendencia
1947 Gödel publica su artículo sobre Cantor.
1949 Gödel publica su ensayo sobre Einstein. Observación acerca de la relación entre la teoría de la relatividad y la filosofía idealista.
1952 La universidad de Harvard nombra a Gödel doctor honorario en ciencias con la mención "el descubridor de la verdad matemática más significativa de este siglo".
1953-4	Curso oral de Zubiri "El problema del hombre", menciona el Teorema de Gödel.
1958 Ensayo de Gödel sobre Bernays.
1959 Gödel comenzó a estudiar la obra de Husserl
1962 Gödel habla de haberse sumergido en un libro filosófico de especial interés para él, pero no menciona el libro.	Publica: Sobre la Esencia
1963 Paul J. Cohen: pruebas de independencia, en teoría de conjuntos, de la Hipótesis del Continuo.   Teoría no cantoriana de conjuntos.	Cinco lecciones de Filosofía
1966 Heyting: Intuicionismo
1970	Curso oral: Sobre el tiempo ( 2 lecciones)
1971	Creación del Seminario Xavier Zubiri para profundizar en las ideas de Zubiri.
1973	Curso oral: El Espacio (4 lecciones)
1974 Imre Lakatos fallece.
1978 Gödel fallece en Princeton.   El Instituto de Estudios Avanzados organiza un encuentro en su memoria el 3 de Marzo, presidido por A.Weil.
1979 La Association for Symbolic logic dedica un Congreso al trabajo de Gödel   La República Federal de Alemania le condecora con la medalla "Das Grosse Verdienst Kreuz".
1980	Inteligenicia Sentiente
1982	Inteligencia y logos   Recibe el Premio Nacional Santiago Ramón y Cajal
1983	Inteligencia y razón   Zubiri fallece en Madrid
1984	El hombre y Dios
1986	Sobre el hombre
1989	Estructura dinámica de la realidad
1992	Sobre el sentimiento y la volición
1993	El problema filosófico de las religiones

 

 

1.3 Evolución de Zubiri: Etapas de su filosofía de la matemática

Zubiri constata dos etapas en su evolución intelectual. ¿Es esto así en su filosofía de la matemática? A nuestro modo de ver, es preciso hacer algunas observaciones que nos llevarán a una periodización de las distintas concepciones de la matemática del autor. Para establecerla, pues, seguimos los siguientes pasos:

1. Nos fijaremos en la evolución que el propio Zubiri señala de su pensamiento filosófico.

2. Haremos una serie de consideraciones desde la evolución zubiriana de la concepción de la naturaleza del objeto matemático.

3. Teniendo en cuenta la periodización de Zubiri y nuestras observaciones indicaremos dos etapas distintas y señalaremos las obras que ponen de manifiesto una ruptura (en el paso de la primera etapa a la segunda) o una mayor precisión (dentro de la segunda etapa), en el pensamiento del autor.

 

1. Etapas que señala Zubiri en la evolución de su pensamiento.

Zubiri señala ( en el prólogo que escribió en 1980 para la traducción inglesa de su obra Naturaleza, Historia, Dios[9]) dos etapas en su vida intelectual, cada una con una inspiración común. Éstas son:

I. 1932-1944. Etapa ontológica.

La inspiración remota es la Fenomenología de Husserl y la concreta es la ontología o metafísica —como la llamaba el propio Heidegger en su libro Sein und Zeit—.

"Esta fue la remota inspiración común de la etapa 1932-1944: la filosofía de las cosas. La fenomenología tuvo así una doble función. Una, la de aprehender el contenido de las cosas. Otra, la de abrir el libre espacio del filosofar frente a toda servidumbre psicológica o científica. Y esta última función fue para mí la decisiva... Pero mi reflexión personal tuvo, dentro de esta inspiración común, una inspiración propia. Porque ¿qué son las cosas sobre las que se filosofa? He aquí la verdadera cuestión. Para la fenomenología las cosas eran el correlato objetivo y ideal de la conciencia. Pero esto, aunque oscuramente, siempre me pareció insuficiente. Las cosas no son meras objetividades, sino cosas dotadas de una propia estructura entitativa. A esta investigación sobre las cosas, y no sólo sobre las objetividades de la conciencia, se llamó indiscernidamente ontología o metafísica."[10]

Zubiri barruntaba la insuficiencia del objetivismo-idealismo al que abocaba la Fenomenología, por ello en esta etapa inicia su superación, volviéndose desde el mundo objetivo-ideal a la lógica de la realidad.

"Era ya una superación incoativa de la fenomenología. Por esto, según me expresaba en el estudio "Qué es saber", lo que yo afanosamente buscaba es lo que entonces llamé lógica de la realidad" [11]

II.1944-1983. Etapa realista.

Zubiri señala que Heidegger "atisbó la diferencia entre las cosas y su ser", pero funda la realidad en el ser, esto es, la metafísica en la ontología. Él va a acometer la tarea opuesta: fundar el ser en la realidad. La metafísica es, pues, el fundamento de la ontología. En esta etapa, Zubiri supera tanto la fenomenología como la ontología; su filosofía es de lo real en cuanto real.

"Desde 1944 mi reflexión constituye una nueva etapa: la etapa rigurosamente metafísica.

En ella recojo como es obvio, las ideas cardinales de la etapa anterior, es decir de los estudios ya publicados en este volumen. Pero estas ideas cobran un desarrollo metafísico allende toda objetividad y allende toda ontología."[12]

La inspiración común de esta etapa metafísica es "lo real en cuanto real". Zubiri se ve forzado y empeñado en dar una definición distinta de inteligencia, de realidad y de verdad. Su expresión acabada se halla en la Trilogía de la intelección.

"Es, repito, la etapa determinada por la inspiración común de lo real en cuanto real. Es una etapa rigurosamente metafísica. En ella me he visto forzado a dar una idea distinta de lo que es la intelección, de lo que es la realidad y de lo que es la verdad. Son los capítulos centrales del libro Inteligencia sentiente." [13]

 

2. Observaciones desde el campo de la filosofía matemática.

a) Zubiri implícitamente señala una etapa previa a la ontológica, la etapa fenomenológica, que abarca el lapso de tiempo: 1921-1931. En esta etapa, encontramos desarrollada la primera concepción de la matemática de Zubiri: la objetivista-idealista. Se trata de una concepción heredada, más o menos de acuerdo con la orientación idealista de Husserl y la formalista de Hilbert. Esta interpretación objetivista-ideal de la matemática le conduce, en gran parte, a una filosofía de la Objetividad. La influencia del matemático y filósofo Husserl es notoria. Con él comparte la preocupación fundamental de la explicación de la matemática pura y su orientación objetivo-idealista de Investigaciones lógicas. Dice Husserl:

"Las investigaciones lógicas, cuya publicación inicio con estos prolegómenos, han brotado de los ineludibles problemas que han dificultado repetidas veces e interrumpido finalmente el curso de mis largos esfuerzos por obtener una explicación filosófica de la matemática pura. Estos esfuerzos perseguían principalmente la solución de las difíciles cuestiones acerca de la teoría y del método matemáticos, además de las referentes al origen de los conceptos y de las intelecciones matemáticas fundamentales"[14].

Y un poco más adelante continúa[15]:

"...me encontré forzado, finalmente, a aplazar por completo mis investigaciones filosófico-matemáticas, hasta llegar a conseguir una claridad segura en las cuestiones fundamentales de la Teoría del conocimiento y en la compresión crítica de la lógica como ciencia."[16]

Zubiri, como Husserl, expresa la conexión de la matemática y de la filosofía, reservando, como ya hemos dicho, un puesto privilegiado a la matemática como campo de sugerencias filosóficas. Esta preocupación no la abandonará, si bien los resultados de la nueva matemática, a partir de 1931, le alejarán del idealismo transcendental de Husserl.

b) El año 1931, Gödel descubre su famoso Teorema de Incompletitud[17]. Es una fecha decisiva en filosofía de la matemática. Supone la crisis del formalismo logicista y, por consiguiente, la crisis del objetivismo idealista. Desde la interpretación que venimos sosteniendo en nuestra tesis, cobra nueva luz el hecho de que Zubiri marque en tal fecha 1932 el comienzo de una etapa no-objetivista. En filosofía de la matemática es una ruptura con Hilbert y con Husserl.

c) 1932-1944, es la etapa que Zubiri señala como ontológica, pero ¿desarrolla Zubiri una nueva filosofía de la matemática? No. Ateniéndonos a los textos publicados y a la filosofía de la matemática, hay que decir, pues, que es más bien un período de transición, de tanteo. Ciertamente, podemos constatar que hay una superación del objetivismo: el ente matemático no es mero correlato objetivo, sino que alguna realidad tiene. Esto es claro en 1935, en el texto señalado por Zubiri: "Qué es saber". Su consideración de la lógica de la realidad manifiesta incoativamente un giro del objetivismo-idealismo matemático a un realismo matemático, sólo incoativamente.

"Realidad no significa exclusivamente "ser material". Los números, el espacio, las ficciones, tienen también, en cierto modo, su realidad. No es lo mismo la idea del tres que el tres, no es lo mismo la idea de un personaje de una novela que el personaje novelesco mismo."[18]

d) De 1944-1983, etapa metafísica: de lo real en cuanto real. El año 1944 es una fecha muy significativa en la filosofía de la matemática de Zubiri; es aproximadamente el momento en que está ocupado en el problema de la realidad matemática sobre el que versará su intervención en francés: Le réel et les mathematiques: un probleme de philosophie, que tuvo lugar en la Universidad de Princeton[19], el año 1946. Sus resultados se reforzarán ante el posible encuentro con Gödel. La nueva interpretación de la matemática determinará, en gran parte, la Filosofía de la Realidad de esta etapa metafísica de Zubiri. A su vez, la nueva noción de intelección, de realidad y de verdad elaboradas en este período contienen una filosofía realista de la matemática.

e) Esta etapa metafísica tiene la unidad de la vía realista, sin embargo, hay una evolución muy clara en Zubiri respecto de su concepción del objeto matemático. De ahí que pueda dividirse en dos subperíodos. En el primero el término que sustituye al de objetividad (de la primera filosofía de la matemática) es el de objetualidad y en el segundo, es el de realidad física. Señalamos a continuación los textos que muestran la diferente conceptuación del objeto matemático en estos dos subperíodos.

En el curso oral El problema del hombre (1953-4)[20] Zubiri considera que el ser positivo de la idea es realidad objetual, esto es, realidad como objeto. Distingue entre realidad física y realidad objetual. Las ideas, aunque sean irreales, realizan las propiedades definidas de una manera objetual, de ahí que tenga más propiedades que las definidas. Es lo que en el campo matemático demuestra el Teorema de Gödel. Los objetos matemáticos son realidades objetuales, frente a las cosas sensibles que son realidades físicas. Y se realizan "objetualmente". Dice Zubiri:

"Uno pudiera pensar que, puesto que en esa realidad objetual no va a haber más propiedades que las definidas con mis conceptos, el averiguar la estructura de esos objetos va a ser cuestión de lógica discursiva. Pero las matemáticas demuestran que esto no es verdad. Por numeroso que sea el número de propiedades —si es infinito no hay cuestión— con que por un sistema determinado se concibe un ente matemático, ese sistema de propiedades me planteará problemas que no pueden ser resueltos con el sistema con que los he definido: es el teorema de Gödel. Es que uno ha realizado el intento de un objeto, y ese intento da una consistencia de realidad objetual, que transciende del ámbito con que yo me lo represento"[21].

Es preciso señalar, aunque sea meramente de paso, que las anteriores palabras de Zubiri vienen en apoyo de su crítica a la noción de intencionalidad de Husserl. Zubiri afirma que en la intencionalidad no hay una versión emergente de sí a la realidad, sino que proviene de ésta. He aquí la repercusión del Teorema de Gödel en el abandono no sólo del objetivismo-idealista de la matemática, sino también, en gran parte, de la teoría de la objetividad pura, o fenomenología (como sistema no como método) de Husserl,

"En manos de la fenomenología, la intencionalidad cobró un carácter distinto. Pensaba Husserl con razón que la intencionalidad es un acto irreductible; consiste en animar de intención objetiva a lo que no sería sino un contenido de materiales hiléticos de mi propia conciencia psicofísica. Pero es estructuralmente falso que la intención sea primariamente animación de materiales hiléticos... La intención como acto se funda en el intento como estructura física; la intencionalidad se funda en la retención y no al revés. Y la prueba está en que, aun cuando no esté ante la realidad misma, no por eso está meramente ante los conceptos con que ha definido el objeto o ante la imagen que reproduce la situación. La idea, por muy irreal que sea, necesita realizar las propiedades definidas de una manera objetual"[22]

En Sobre la Esencia [23] Zubiri distingue entre cosas reales y cosas objetuales. Y, a su vez, opone la noción de "cosa" a la de "concepto objetivo". Los "entes matemáticos" son cosas objetuales, tienen una entidad positiva de la que carecen, por el contrario, los conceptos objetivos. Tanto las cosas reales como las cosas objetuales son físicas, mientras que las objetividades son conceptivas o intencionales. El Teorema de Gödel muestra la anterioridad de la realidad sobre el concepto objetivo, tanto en el caso de los entes físicos como matemáticos.

"La verdad es que jamás podrá demostrarse positivamente la no contradicción de un verdadero sistema de notas o conceptos objetivos, ni tan siquiera en el dominio de la matemática (teorema de Gödel). Se dirá que el hecho de que la cosa sea real, es ya una prueba excepcional de la no contradicción de sus notas. Esto es verdad. Pero al apelar a esta consideración, hemos abandonado ya la anterioridad del concepto objetivo, respecto de la cosa real."[24]

Y,

"...no es lo mismo objetividad y objetualidad. Sin entrar temáticamente en el problema, nos bastará con señalar aquí su inequívoca diferencia. Una figura geométrica cualquiera, y a fortiori entidades como un espacio no-arquimediano, son ejemplos de "objetos". Es innegable que alguna entidad positiva tienen, que son "algo", llaménseles cosas ideales o como se quiera; buena prueba de esto es que sobre ellos se llevan a cabo penosas investigaciones. Pero estos objetos son toto caelo distintos de la objetividad de un concepto."[25]

De estos "objetos" matemáticos hay que ir elaborando los conceptos objetivos que los representan, y esta tarea no es nada fácil. La diferencia fundamental entre objeto y objetivo radica en que el objeto tiene alguna entidad positiva mientras que lo objetivo no tiene ninguna entidad, es meramente intencional.

"Por esto, mientras el objeto tiene "alguna" entidad propia, lo objetivo no tiene entidad ninguna en sí mismo; es tan sólo lo que yo concibo de las cosas, sean éstas reales o realmente objetuales. Lo objetivamente concebido de una cosa es distinto de la cosa misma, no sólo cuando se trata de cosas reales sino también cuando se trata de cosas objetuales".[26]

La diferencia entre "objetivo" y "cosa real" parece más clara que la existente entre "objetivo" y "cosa objetual" (entes matemáticos), por ello Zubiri recalca que esta última distinción entre objetividad y objetualidad es fundamental y del mismo tipo que entre realidad y objetividad. Objeto y realidad tienen entidad positiva; mientras que objetividad no tiene entidad.

"Lo objetivo es tan carente de entidad que puedo formar conceptos objetivos de la privación, del no-ser, etc.; es decir, lo objetivo no sólo no es objeto sino que ni es forzosamente positivo."[27]

La "cuasi identificación de la lógica y la matemática" ha llevado a identificar los entes matemáticos o "cosas" objetuales con los conceptos objetivos. Y esto, según Zubiri, es inadmisible; hay una diferencia esencial entre el objeto lógico, conceptos objetivos, y el objeto matemático, cosas objetuales. El objeto matemático no es "especie ideal" o esencia, sino un objeto que tiene su propia esencia.

"Porque el color percibido en cuanto percibido, y el círculo geométrico no son esencias sino objetos sui generis; la prueba está en que de ese color y de este círculo tengo forzosamente que inquirir su esencia. Estos presuntos "objetos" tienen, como todo objeto, su propia esencia."[28]

Y la esencia es un momento "intrínseco y formal" del objeto mismo. Por tanto, los objetos matemáticos no son conceptos objetivos sino objetos, entidades positivas, si bien distintos a las cosas reales.

"El color percibido en cuanto percibido y el círculo geométrico deben su indiferencia a la existencia; no a que sean esencias, sino a que son otra clase de objetos que las cosas reales." [29]

A pesar de la fluctuación en el término del objeto matemático (cosa ideal, cosa objetual, realidad objetual), está claro que Zubiri concede cierta realidad al objeto matemático, y por ello nos referimos principalmente a dos etapas zubirianas: la objetiva-ideal y la realista. La nueva filosofía de la matemática de Zubiri, el Constructivismo, está expuesta claramente en su trilogía de la intelección. Es un tipo de realismo que denominaremos transcendental. En Inteligencia y Logos, Zubiri, sin ninguna reserva, dice que los objetos matemáticos son reales, lo veremos más adelante.

Esquematizamos a continuación las etapas de la filosofía de la matemática de Zubiri y las obras que explicitan el cambio de concepción de la naturaleza de la matemática.

 

 

3. Etapas de la filosofía de la matemática de Zubiri.
Etapa	Obras principales
I. 1921-1931 Objetivismo: El objeto matemático es Objeto ideal	Teoría Fenomenológica del Juicio (1923).
II. 1931-1944 Años de transición del objetivismo al realismo.	"¿Qué es el saber?" (1935) (se publicó en Cruz y Raya y recogido en Naturaleza, Historia, Dios
III. 1944-1983 Realismo. El objeto matemático no es ideal sino real.
1. 1944-1962 Realismo objetual (Objetualismo): El objeto matemático es Cosa Objetual o Realidad objetual	El problema del hombre (1953-1954), ( Curso oral de 35 lecciones, según se recoge en Sobre el Hombre ), Sobre la Esencia (1962).
2. 1962-1983 Realismo transcendental. El objeto matemático es Realidad física postulada constructivamente.	"El Espacio" (1973) (Curso inédito)   Inteligencia Sentiente (1980) Inteligencia y Logos (1982) Inteligencia y Razón (1982)

 

 

2 FUENTE MATEMATICO-LOGICA DE LA GENESIS Y EVOLUCION DE LA FILOSOFIA ZUBIRIANA

 

En este punto nos proponemos mostrar la primera dirección de nuestra hipótesis de trabajo: la filosofía de Zubiri nace, en gran parte, de la necesidad de fundamentar la matemática de su tiempo y de interpretar sus resultados. De la evolución de la matemática pende, en parte, la evolución de la filosofía de Zubiri desde el objetivismo al realismo:

1. La matemática de finales del s. XIX y principios del s. XX (hasta 1930 aproximadamente)—de modo especial las geometrías no euclídeas y la matemática transfinita de Cantor—determinan la filosofía de la Objetividad de Zubiri, fuertemente influida por la Fenomenología de Husserl. A su vez, esta concepción filosófica proporciona la base para elaborar una filosofía de la matemática: la objetivo-idealista. La desarrollaremos según está expuesta en Teoría fenomenológica del juicio.

2. Los nuevos resultados matemáticos, a partir de 1931, determinan, en gran medida, la filosofía de la realidad zubiriana. Aunque Zubiri no hace explícitos los resultados matemáticos que suponen un giro en su anterior concepción, no cabe duda del papel crucial que juega el Teorema de Gödel. Éste le lleva, en gran parte, al abandono de la filosofía fenomenológica (como sistema, no como método), y al desarrollo de una nueva filosofía de la intelección y de la realidad. En el próximo capítulo la esbozaremos. A partir de su "noología" se puede sistematizar una filosofía original de la matemática. De ahí que nos refiramos a una filosofía de la matemática pre-gödeliana y a otra post-gödeliana. En los tres últimos capítulos de la tesis, caracterizaremos la nueva filosofía de la matemática, el Constructivismo: Sentiente, Transcendental y Lógico-histórico.

 

2.1.- Crisis de la matemática a finales del s. XIX y el objetivismo zubiriano.

Zubiri define la situación de la matemática[30] a finales del s. XIX como el proceso de su independización respecto de toda intuición y de toda física. Estos resultados determinarán la concepción "objetivista ideal" de la matemática de esta etapa primera de su pensamiento. Presentamos, a continuación, los datos relevantes de la matemática que el mismo Zubiri ofrece, convencido de que sin ellos no se puede entender la necesidad de una filosofía de la Objetividad.

A. En el campo de la aritmética

Teoría de conjuntos

El verdadero creador de la teoría de conjunto es el ruso Georg Cantor (l845-l918). Cantor entiende por conjunto una colección de objetos definidos y separados que la mente puede concebir, y dado cualquier elemento es posible decidir si pertenece o no a él. Admite conjuntos no sólo potencialmente infinitos sino también infinitos actuales. Conjunto infinito es el que permite establecer una correspondencia biunívoca con una parte de sí mismo. Cantor introdujo una teoría de números cardinales y ordinales en la cual son destacados los cardinales y ordinales transfinitos. Si dos conjuntos pueden ponerse en correspondencia biunívoca, esto es, son equivalentes, entonces tienen la misma potencia o "número cardinal". En los conjuntos finitos es el número de objetos del conjunto; en los infinitos se definen nuevos números cardinales. Introduce la noción de ‘numerable’ para los conjuntos que pueden ponerse en una correspondencia biunívoca con los enteros positivos. Este es el conjunto infinito más pequeño. Cantor demostró en 1874 que el conjunto de los números racionales es numerable, y que los números reales no son numerables.

La teoría de conjuntos supone un cambio de concepción de qué sea ‘número’, éste deja de ser entendido como cantidad y como relación real para concebirse como clase y como ‘especie ideal’. La introducción del infinito actual, base del sistema de números transfinitos, supone una verdadera revolución. Algunas reglas de la aritmética ordinaria no son válidas en ésta de números transfinitos. Esta aportación de Cantor está completamente fuera del alcance de la intuición humana. Ej. À0 + 1= À0

Números irracionales.

Dedekind da una definición precisa de número irracional. Parte de la división de los números racionales en dos clases tales que cualquier número de la primera es menor que cualquier número de la segunda. Esta partición de los números racionales se denomina "cortadura". Hay cortaduras que no están determinadas por números racionales sino irracionales.

Cuaternios de Hamilton

Hamilton crea los cuaternios, números hipercomplejos, (la forma general del cuaternio es a + bi + cj + dk, donde a, b, c, d, denotan números reales). Para esta nueva clase de números, se define una nueva clase de multiplicación, donde la ley conmutativa no es válida. Así por ejemplo, ij = k, pero ji = - k.

 

B. En el Análisis

Se decidió reconstruir el análisis sobre la base de los conceptos aritméticos. Comienzan Bolzano, Cauchy y Abel; Weirstrass lo incrementó. Las nuevas investigaciones suponen la liberación en el cálculo y sus extensiones de la dependencia de la geometría, del movimiento y de las comprensiones intuitivas.

 

C. En la geometría

Geometrías no-euclídeas.

Se produce una ruptura total de la geometría con la física porque la construcción de geometrías no-euclídeas puede representar el espacio físico igual que las geometrías euclídeas. La geometría comienza a considerarse no como la verdad acerca del espacio físico, sino el estudio de los espacios posibles. La obra de Riemann[31] (1826-1866) y Lobachevski en la dirección métrica es decisiva; y, en la dirección proyectiva, la de Chasley, Cayley y Staudt. Klein llegó a la conclusión de que la geometría proyectiva comprende las geometrías euclídeas y las no-euclídeas, que son casos especiales. Algunas investigaciones pertenecen a la geometría proyectiva en espacio n-dimensional.

La teoría de los grupos

Supera la dualidad de ciencias de la cantidad discreta y de la cantidad continua con una teoría de la multiplicidad pura, de la que son desarrollos tanto el Análisis como la Geometría.

En conclusión, todos estos resultados de la matemática conducen al abandono del carácter intuitivo y cosmológico de la matemática. La introducción de los cuaternios, las geometrías no euclídeas, los elementos complejos en geometría, la geometría n-dimensional, las funciones extrañas y los números transfinitos nos alejan de la intuición matemática. Ésta no es un apoyo seguro sobre el cual se puedan basar las teorías matemáticas. Ni el número, ni el espacio geométrico son representaciones tal y como nos forjamos intuitivamente. El espacio abstracto es la base de la geometría. Abandonada la intuición se puede construir un espacio de infinitas dimensiones.

El mejor modelo de construcción matemática no es el intuitivo sino el axiomático, como muestra Hilbert[32]. Las matemáticas no tienen un carácter cosmológico: no expresan la esencia de la realidad "fuera de nosotros". El espacio y el tiempo no tienen un carácter absoluto. Y, por último, el espacio físico no es tridimensional y euclideano.

Hay una ganancia de enorme alcance filosófico: el realismo ingenuo o crítico—tal y como se viene entendiendo—en Matemáticas, queda refutado y este resultado se extiende, en gran parte, a todo el sistema filosófico zubiriano.

2.1.1 Primera filosofía de la matemática de Zubiri a partir de estos resultados matemáticos.

Los resultados de la matemática de finales del s. XIX nos conducen a una concepción de la naturaleza y fundamento de la matemática en una vía opuesta a la pitagórica[33] y moderna,

"Las matemáticas se refieren a una serie de propiedades de carácter esencialmente cosmológico. El geometrismo cartesiano y, por una mala interpretación, la ley de continuidad de Leibniz, nos han acostumbrado a hallar en la matemática la expresión de la esencia del mundo: no hicieron otra cosa los pitagóricos."[34]

"Y esta Crítica de las ciencias, llevada a cabo por caminos independientes, va a apurar al filósofo, hasta obligarle a adoptar nuevas posiciones intelectuales."[35]

El nuevo fundamento capaz de sostener el nuevo edificio matemático será la lógica: unos axiomas enunciados con exactitud y deducciones según reglas formales. La verdad ya no es la adecuación con la realidad sino la consistencia formal o coherencia lógica. Cada concepto matemático nuevo tiene que introducirse por la definición de carácter lógico.

Se inicia la vía de la logificación y formalización de la matemática. Ninguna construcción matemática goza ya de un carácter privilegiado en cuanto intuitiva. Tanto la geometría tridimensional como la multidimensional, la euclídea como la no euclídea, la arquimediana como la no arquimediana, pertenecen al mismo orden de construcción lógica[36]. La idea central de la logificación de la matemática es que ésta no tiene especificidad sino que es de naturaleza lógica, es decir, un desarrollo o prolongación de la misma.

Zubiri, en 1921, en su tesis doctoral, mantiene esta concepción en el terreno filosófico, llevado por los resultados que hemos constatado y que desencadenan la crisis de la intuición. Su primera concepción de la matemática es "objetivista-ideal", cuyas líneas fundamentales son:

1.-La matemática se ocupa de "objetos ideales"

2.-Parte de una "evidencia apodíctica"

3.-"Se desarrolla completamente a priori por rigurosa vía deductiva".

Las nociones básicas de la aritmética y de la geometría son objetos ideales. En la primera, el número no se entiende como una relación real sino que se define por la noción de "clase". En la segunda, el espacio geométrico ya no se identifica con el espacio físico real; las nociones de espacio no-euclídeo y n-dimensional nos conducen a la noción de espacio ideal. En definitiva, la matemática no se refiere a hechos como la física, sino que se refiere a objetos ideales, y procede independientemente de la experiencia, según el método deductivo.

"Un conocimiento que se refiere a objetos ideales tiene origen en una evidencia apodíctica y se desarrolla completamente a priori por rigurosa vía deductiva."[37]

El rechazo tanto del cosmologismo como del psicologismo[38] lleva a Zubiri a seguir el método fenomenológico de Husserl. La teorización de la nueva matemática nos exige hablar de un mundo ideal. Este mundo ideal no pertenece a la conciencia, ni al mundo, es objetivo. Zubiri, en esta primera etapa de su filosofía matemática, se sitúa en la línea platónica y, en continuidad con ella, afirma que los objetos matemáticos forman parte de un "tercer mundo", lo que Platón llamó el mundo de las ideas.

"Porque si los objetos ideales no son contenidos de conciencia, y algunos de tales objetos (los matemáticos, por ejemplo) no son realidades existentes en el mundo externo (...), resultará que esos objetos ideales no son propios ni de la conciencia ni del mundo. Son, pues, un tercer mundo sui generis; el mundo de las ideas, que diría Platón." [39]

El joven Zubiri distingue tres tipos de objetividad o de ser: objeto real, objeto fantástico y objeto ideal, que respectivamente son términos de una conciencia perceptiva, de un acto fantástico y de un acto ideativo. Paralelamente nos dice que las verdades pueden ser de tres órdenes: verdades ideales, verdades fantásticas y verdades positivas. La matemática se ocupa de los seres u objetos ideales, que son resultado de la ideación y sus verdades son ideales.

"hay tres órdenes fundamentales de objetividad: el real, el fantástico y el ideal. Todos ellos son igualmente objetivos: porque objetividad no es sinónimo de existencia."[40]

El orden real incluye en su seno la existencia, mientras que el orden fantástico y el ideal la excluyen, y de estos dos el primero incluye la individualidad, no así el segundo que afirma meramente la unidad de las especies. Idealidad se opone a realidad. El objeto ideal no es real; es intemporal e inespacial. Y, por tanto, el objeto ideal es el "no-existente". (En su segunda filosofía de la matemática rechazará, como veremos, la denominación de objeto ideal y existencia ideal referida a los objetos matemáticos). Idealidad es diferente también de fantasía. Los objetos matemáticos son inespaciales mientras que los fantásticos son espaciales. El triángulo no lo localizamos en ningún lugar, si bien es extenso. Sin embargo, a diferencia de los objetos ideales, los fantásticos sí están localizados, por ejemplo, un centauro ocupa un lugar aunque tan inexistente como él mismo. La imagen del centauro incluye la esencia del lugar.

"Pero no confundamos el espacio con la extensión; un triángulo matemático es algo que se define por la determinación que adquiere en el espacio, y sin embargo, si algo hay que pueda considerarse como ideal, son ciertamente las figuras geométricas. En rigor, lo que caracteriza el triángulo no es tanto la localización como la extensión."[41].

Los juicios matemáticos, según el joven Zubiri, son de orden ideal. "El carácter de realidad de los objetos no es esencial a un juicio; en la Matemática yo no tengo objetos reales y, sin embargo, tengo juicios"[42]. Un juicio consiste en "referir intencionalmente una representación a un objeto."

Esta primera concepción de la matemática es dogmática: las verdades matemáticas son absolutamente ciertas, sus evidencias son apodícticas. Son verdades independientes de la experiencia, y, por tanto, irrefutables por ésta. Este dogmatismo matemático es extensivo a todas las ciencias ideales.

"Las ciencias ideales son perfectamente autónomas; no implican la existencia de su objeto como su esencia específica. Por esto todas estas ciencias son absolutamente ciertas con evidencia apodíctica y se construyen con arreglo al método a priori. Tal es el caso de las Matemáticas, de la lógica, de la Filosofía de los valores, etc."[43]

Esta caracterización de las Matemáticas le lleva a Zubiri a la demarcación logicista entre matemáticas y ciencias empíricas. La matemática queda asimilada a la lógica, y en una línea opuesta a las ciencias empíricas que:

1.- Tienen por objeto "puros hechos"

2.- Parten de una "evidencia asertórica"

3.- "Se desarrolla por un procedimiento inductivo" [44]

Este logicismo se refuerza haciendo depender las ciencias positivas de las ciencias ideales; éstas son completamente autónomas. La existencia de los seres contingentes se funda en la idealidad. Las verdades matemáticas son el resultado de un acto ideativo, nada tienen que ver con la existencia y la contingencia, su naturaleza es idéntica a la de las esencias.

"El matemático considera una serie de entes que nada tienen que ver con el mundo de las existencias. Mejor que posibles, las esencias son seres virtuales" [45]

Zubiri en este período no crea una concepción nueva de la matemática, sino que se une a la corriente dominante que desplaza la concepción tradicional de la matemática como la ciencia de la cantidad por la ciencia que se preocupa de obtener conclusiones necesarias a partir de un conjunto dado de axiomas (o postulados). El logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática que considera la lógica como anterior o más fundamental que la matemática, ésta se reduce a la primera[46]. Esta primera concepción logicista-formal de la matemática, como ciencia que nos proporciona verdades apodícticas a través del método axiomático-deductivo de objetos ideales es, según hemos señalado, el resultado de la crisis de la intuición en las matemáticas.

"La teorización de la ciencia contemporánea nos coloca ante la necesidad de hablar de un mundo ideal, es decir inexistente, pero trascendente, esto es, objetivo."[47]

De esta necesidad de fundamentar la matemática se deriva la exigencia de elaborar una teoría de la objetividad. Pero del hecho de que Zubiri elabore su filosofía al hilo de los descubrimientos de la ciencia matemática, en nuestro caso, supone que tiene que pagar tributo a los cambios que en ésta se produzcan. En esta primera etapa está fuertemente influido por el Husserl de las Investigaciones lógicas. Adopta la Fenomenología como ciencia del mundo ideal-objetivo, cuya descripción es previa a cualquier explicación teórica. El reto que tiene planteado su filosofía es la fundamentación de la matemática objetiva-ideal,

Así como la Filosofía moderna nació de la interpretación subjetivista y cosmológica de la Matemática, así la Filosofía contemporánea nace de una interpretación objetivista ideal de la Matemática. Una vez más se pone de relieve el interés filosófico de la matemática y el absurdo de nuestras facultades de Filosofía al no tener cursos de Filosofía matemática ni de Filosofía de las ciencias" [48]

Para el joven Zubiri la clave del tipo de filosofía de los distintos períodos está, pues, en la interpretación que se haga de la matemática. Así cabe esperar de una nueva interpretación de la matemática, que no sea la subjetiva-cosmológica, ni tampoco la objetiva-ideal, el nacimiento de una nueva Filosofía[49].

A continuación veremos que la teorización fundamentalmente de la matemática gödeliana pone al autor en la situación de abandonar el mundo ideal, transcendente y objetivo, y definir un mundo real y transcendental (lo analizaremos en el capítulo cuarto) de los objetos matemáticos.

 

2.2 Los resultados de Gödel y el realismo zubiriano.

 

2.2.1 Significación del Teorema de Gödel en la Matemática y en la Filosofía de la Matemática.

El Teorema de Incompletitud (1931) ha proporcionado a Gödel[50] una fama legendaria: es considerado "el descubridor de la verdad matemática más significativa de este siglo" [51]. Marca un hito en la historia de la lógica matemática.

El alcance filosófico del Teorema de Gödel no ha sido menor. Supone la conmoción de las distintas filosofías de la matemática de finales del s. XIX y principios del s. XX: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer. Como dicen Nagel y Newman: "provocó una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la matemática y de la filosofía del conocimiento en general" [52].

La gravedad de la situación es tal que va a apurar al filósofo a tomar una nueva posición intelectual. El propio Gödel, como examinaremos, inicia el giro del "apriorismo-idealismo" del Positivismo Lógico al "realismo" de la nueva filosofía de la matemática. Creemos que la exigencia, planteada por los resultados de Gödel, de una nueva filosofía, no-dogmática, de la matemática (y del conocimiento, en general), tiene, su máximo cumplimiento en dos autores: Lakatos y Zubiri. Sus respectivas interpretaciones del Teorema de Gödel—el principio de conservación de la falibilidad o de la sofisticación (Lakatos) y la anterioridad de la realidad sobre la verdad (Zubiri)— constituyen el eje de toda su filosofía matemática y del conocimiento. Sus posturas son dos alternativas a la crisis gödeliana del fundamento matemático. Mientras que Lakatos sustituye la tarea de la fundamentación por la tarea del avance matemático, Zubiri pretende también, como veremos, proporcionar una fundamentación no-dogmática de la matemática. Su propuesta es un nuevo tipo de Constructivismo.

2.2.1.1 Significación del Teorema de Gödel en la Matemática.

La aportación de Gödel está en el contexto del planteamiento que Hilbert hace de los sistemas formales. Hilbert ha presentado como requisitos y problemas fundamentales de un sistema formal matemático: la consistencia y la completitud. Un sistema formal es completo si cada sentencia expresable con su lenguaje formal es decidible a partir de sus axiomas. Partiendo de sus axiomas y aplicando las reglas lógicas, podemos llegar a la conclusión de A o no-A. Y, por otra parte, un sistema formal es consistente si no puede deducirse dentro del sistema A y no-A. Pues bien, los resultados de Gödel resuelven estas dos cuestiones de modo negativo.

Ya en 1930, Gödel en su artículo: Algunos resultados metamate-máticos sobre completitud y consistencia[53] muestra, respecto a un sistema formal, S, resultante de unir a los axiomas de Peano la lógica de Principia Mathematica, los siguientes teoremas:

I. El teorema de la incompletitud del sistema S.

"El sistema S no es completo, es decir, en él hay sentencias j (que pueden efectivamente ser indicadas), tales que ni j ni no j son deducibles y, en especial, hay problemas indecidibles con la sencilla estructura existe x Fx, donde x varía sobre los números naturales y F es una propiedad (incluso decidible) de los números naturales".

Es un resultado definitivo, de tal modo que aunque se añadan nuevos axiomas, el sistema seguirá teniendo fórmulas nuevas indecidibles.

II. El teorema de la imposibilidad de la prueba de la consistencia en S.

"Incluso si admitimos todos los medios lógicos de Principia Mathematica (...) en la metamatemática, no hay ninguna prueba de consistencia para el sistema S (y aún menos la hay si restringimos de alguna manera los medios de prueba)".

En 1931, Gödel da las pruebas de sus descubrimientos en el citado artículo, Sobre sentencias formalmente indecidibles de principia mathematica y sistemas afines [54]. En éste plantea que el desarrollo de la matemática ha exigido la plena formalización de ésta; dos ejemplos de gran perfección son el sistema de Principia Mathematica y la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (y su complementación por parte de J. von Neumann). Sin embargo, muestra que no hay ningún sistema formal matemático, con un número finito de axiomas, que sea completo. Este resultado no se ve modificado por el hecho de que introduzcamos entre los axiomas aquél que nos permita derivar la proposición que resultaba ser indecidible, porque si bien del nuevo sistema ésta se deduciría, surgiría otra proposición que igualmente sería indecidible y así sucesivamente. Por ello es un resultado esencial en los sistemas formales que incluyan la aritmética. Dice Gödel:

"Estos dos sistemas son tan amplios que todos los métodos usados hoy día en la matemática pueden ser formalizados en ellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. Resulta por tanto natural la conjetura de que estos axiomas y reglas basten para decidir todas las cuestiones matemáticas que puedan ser formuladas en dichos sistemas. En lo que sigue se muestra que esto no es así, sino que, por el contrario, en ambos sistemas hay problemas relativamente simples de la teoría de los números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas (y reglas)"[55]

Una consecuencia de los resultados de incompletitud es la relativa a la prueba de la consistencia del sistema P. Es imposible obtener una prueba finitista de consistencia (en los términos planteados por los formalistas) para un sistema formal que contenga formalizados todos los modos finitos de prueba. La consistencia es una de las fórmulas indecidibles en los sistemas incompletos. Dice Gödel:

"Sea K una clase recursiva primitiva y consistente cualquiera de FORMULAS. Entonces ocurre que la SENTENCIA que dice que K es consistente no es K-DEDUCIBLE. En especial, la consistencia de P no es deducible en P, suponiendo que P sea consistente (en caso contrario, naturalmente, toda fórmula sería deducible).[56]

La repercusión del trabajo de Gödel, dentro del área de la fundamentación matemática, es difícil de exagerar. Sin embargo, resulta decepcionante —y en primer lugar lo sería para el propio autor que concentró toda su energía y entusiasmo intelectual en este campo, convencido de su relevancia en la totalidad matemática— observar que su impacto en la practica de los matemáticos es insignificante. Como dice Hao Wang:

"IA [el Teorema de incompletitud de la Aritmética] ha tenido en conjunto poca influencia sobre la práctica matemática. Naturalmente, si (algún sistema formal de ) la aritmética hubiera resultado ser completo (y, por ende, decidible), la investigación en teoría de números habría adoptado una forma totalmente distinta"[57]

Y, un poco más adelante, señala que su impacto ha sido mayor en la tecnología actual, rama que no interesó directamente a Gödel.

"Curiosamente, ha tenido más impacto sobre las cuestiones conceptuales que tienen que ver con los computadores y la mecanización, cuestiones que son una preocupación central en la tecnología actual"[58]

2.2.1.2 Incidencia del Teorema de Gödel en las "escuelas" de filosofía de la matemática.

El Teorema de Gödel ha revolucionado la filosofía de la matemática, mostrando su inadecuación e insuficiencia para explicar el fundamento de la matemática y comprender su naturaleza. Veamos, brevemente, su repercusión en cada una de las "escuelas" de fundamentación de la matemática de principios de siglo.

a) El Teorema de incompletitud significa para el logicismo de Russell y Whitehead el fracaso de su intento de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética. Pone de manifiesto que la verdad matemática es de amplitud mayor que la verdad lógica, y, por tanto la irreductibilidad de la matemática a la lógica. W. y M. Kneale (1961) señalan el desafío del resultado gödeliano a la identificación de matemática y lógica de Russell:

"Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica..."[59]

b) Respecto al formalismo de Hilbert, Gödel demostró los límites internos [60] de los sistemas formales. La matemática es inagotable desde cualquier sistema formal, siempre habrá verdades matemáticas indecidibles dentro de éstos. El método axiomático es de fecundidad limitada. Las afirmaciones aritméticas son irreductibles a las afirmaciones de un sistema formalizado (tanto si sus axiomas son lógicos como si son una sistematización de axiomas lógicos y aritméticos). Como señala Morris Kline:

"El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto porque entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema"[61]

c) Estos resultados también son decisivos para el intuicionismo de Brouwer. Aunque de algún modo ya habían sido vistos por éste —razón por la que se extrañaba de la gran importancia que se les había dado—, sin embargo, el mérito de Gödel está en haber construido unas pruebas formales claras para mostrar la existencia concreta de proposiciones indecidibles a partir del sistema formal que incluye la aritmética elemental. Del mismo modo probó que la consistencia no puede demostrarse dentro del sistema. Por tanto, respecto del intuicionismo,

"...el trabajo les hizo ver de qué modo el uso apropiado de métodos formales podía llevar a conclusiones precisas que ellos sólo podían ver en parte y de forma imprecisa".[62]

d) Los resultados de Gödel tienen también una profunda repercusión en la primera filosofía objetivo-ideal de la matemática de Zubiri. Los siguientes términos expresan el Teorema de Gödel tal y como lo recoge nuestro filósofo:

"Lo postulado tiene propiedades que no son deducibles de los postulados ni pueden ser lógicamente refutadas por ellos."[63]

Y

"Jamás podrá demostrarse positivamente la no contradicción de un verdadero sistema de notas o conceptos objetivos"[64]

 

2.2.2 Encuentro de Gödel y Zubiri en la fundamentación de la matemática.

El planteamiento anterior nos presenta la matemática de principios del s. XX como una ciencia viva, que no puede avanzar sin plantearse el problema de sus principios o fundamentos. Y en esta "aventura, en la que les acompañan con emoción el intelecto entero", se encuentran de una forma sorprendente K. Gödel y X. Zubiri. Experiencia que éste refleja en sus palabras:

"Una ciencia que se halla en la situación de no poder avanzar, sin tener que retrotraerse a sus principios, es una ciencia que vive en todo instante de ellos. Es ciencia viva, y no simplemente oficio. Esto es, es ciencia con espíritu. Y cuando una ciencia vive, es decir, tiene espíritu, se encuentran en ella, ya lo hemos visto, el científico y el filósofo. Como que filosofía no es sino espíritu, vida intelectual"[65]

Matemática y Filosofía, en el s. XX, quedan maravillosamente unidas en las figuras de Gödel y Zubiri. Ambos son prototipo de hombre intelectual: en ellos convive el diálogo matemática-filosofía de manera inseparable; si bien Zubiri es filósofo y está atento a los resultados matemáticos, y Gödel es, en primera línea, matemático-lógico y tiene un puesto justificado en la filosofía, sobre todo, en la filosofía de la matemática. Pero tanto uno como otro tienen una gran capacidad para combinar los resultados de la ciencia y de la filosofía. Y han coincidido en una empresa común: la fundamentación matemática. Esta adquiere mayor relieve considerada una a la luz de la otra. La genialidad de Gödel está en su aportación matemática y lógica, su filosofía es un barrunto. Por el contrario, la de Zubiri está en su filosofía, la cual se apoya en las aportaciones matemáticas. Del mismo modo que se ha unido el nombre de Gödel al de Einstein, se puede unir a ambos un tercero: Zubiri. Física, matemática-lógica y filosofía no pueden marchar separadas como muestra la complementariedad de las aportaciones en sus respectivos campos.

La aportación de Gödel y la de Zubiri son dos hitos en la fundamentación de la matemática. De forma pública en 1952, se reconoció la importancia de K. Gödel. Los resultados obtenidos por éste han revolucionado la filosofía de la matemática, desde la luz que arrojan, las distintas escuelas de filosofía de la matemática: logicismo, intuicionismo y formalismo, resultan inadecuadas. Y, en general, ha revolucionado la filosofía tanto en su aspecto epistemológico como ontológico.

En concreto, la honda repercusión que tiene en Zubiri se advierte de inmediato por las numerosas veces que el Teorema de Gödel aparece mencionado en su obra. No sabemos, por falta de datos, en qué momento, entre 1931 (fecha del descubrimiento) y 1946 (fecha de la intervención de Zubiri en la Universidad de Princeton), Zubiri tuvo conocimiento exacto del descubrimiento de Gödel. Creemos que por primera vez, en los escritos publicados, lo menciona en el curso oral de 1953-1954, "El decurso vital", en el Problema del hombre, recogido en "Sobre el Hombre". Zubiri, quizá como ningún otro filósofo, ha sabido sacar todas las consecuencias de estos resultados de lógica y matemática, de tal manera que su filosofía no sería la misma si no hubiera contado con ellos. Así puede constatarse con toda claridad que la filosofía de Zubiri se refuerza con los resultados de Gödel y éstos, a su vez, se interpretan fácilmente desde la filosofía de Zubiri.

La nueva filosofía de la matemática, elaborada en concordancia con los resultados de Gödel, es también sumamente original. Su descubrimiento filosófico capital es que la inteligencia matemática es sentiente. La revolución que resulta de la aportación de Zubiri es que la inteligencia concipiente se funda en la inteligencia sentiente y el ser en la realidad, y no al contrario, como se ha mantenido en la tradición filosófica. De ahí la necesidad de elaborar una filosofía sentiente de la matemática donde queden fundamentadas las filosofías concipientes de la misma ( lo veremos en el siguiente capítulo).

La filosofía de la matemática es afín en Gödel y Zubiri; ambos consideran la matemática como ciencia de la realidad. Si hemos visto que el abandono del objetivismo y el giro realista en Zubiri es debido, en gran parte, a la influencia de Gödel, es fácil suponer que los resultados matemáticos de éste influyen en primer lugar en su propia filosofía matemática. En efecto, Gödel mantiene un "realismo matemático"; critica la concepción matemática como sintaxis, tal y como defienden sus maestros Hahn, Schlick, Carnap; rechaza el convencionalismo en matemáticas por ser una interpretación insatisfactoria. Afirma:

"Pero, a pesar de su lejanía de la experiencia sensible, tenemos algo parecido a una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede ver por el hecho de que los axiomas mismos nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. No veo ninguna razón por la cual debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensible, que nos induce a construir teorías físicas y a esperar que futuras percepciones sensibles concuerden con ellas y, además, a creer que estas cuestiones no decidibles por el momento tengan significado y puedan ser decididas en el futuro".[66]

Ya en 1930, Gödel en la Discusión sobre la fundamentación de la matemática [67] en la cual participaron Hahn, Carnap, von Neumann, Scholz, Heyting, y Reidemeister, debatía las posturas clásicas del logicismo, formalismo e intuicionismo; y planteaba que la verdad y la consistencia no son equivalentes.

"Supuesta la consistencia de la matemática clásica, uno puede incluso ofrecer ejemplos de enunciados (del mismo tipo que los de Goldbach o Fermat) que son verdaderos en cuanto a su contenido, pero no son deducibles en el sistema formal de la matemática clásica. Por tanto, si añadimos la negación de un tal enunciado a los axiomas de la matemática clásica, obtenemos un sistema consistente, en el que es deducible un enunciado falso en cuanto a su contenido".[68]

Gödel se aparta, pues, del nominalismo y convencionalismo. En 1938, en La consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo [69] prueba que si los axiomas de la teoría de conjuntos son consistentes, también lo será el resultado de agregarles el axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo de Cantor, para ello se basa en el modelo de conjuntos constructibles; y esto unido al resultado de Cohen en 1963, mostrará la independencia de dichos axiomas. Sin embargo, Gödel no admite que esta independencia se justifique desde una postura convencionalista o nominalista.

En definitiva, ambos descubrimientos matemático (Gödel) y filosófico (Zubiri) se complementan, se iluminan mutuamente. Y la aportación común de la fundamentación de la matemática: realismo matemático y una inteligencia no-lógica de la matemática, es una flecha que atraviesa la fundamentación del conocimiento mismo. La vía de formalización y logificación de la matemática fracasa rotundamente ante la realidad de proposiciones verdaderas indecidibles en un sistema formal. La realidad matemática se resiste a ser deducida de un mero sistema finito de axiomas a través de unas reglas lógicas.

"La resistencia que las cosas ofrecen posibilita y fuerza al hombre a entenderse a sí mismo, a darse cuenta de ‘dónde está’. Así es como, al entrar en su presente, las cosas le dejan al hombre debatiéndose con su pasado. Y en este proceso, según sea la índole del choque, así es también el tipo de posibilidades que al hombre presente se le convierten en problema. No todo choque representa un momento de idéntica gravedad"[70]

Al vernos forzados a entender las verdades matemáticas no como intuiciones ni como conceptos, la insuficiencia de nuestro concepto de inteligencia matemática se acusa con mayor gravedad. Esta es una dimensión del problema, la otra —respectiva a ésta— es la insuficiencia de nuestro concepto de objeto matemático que no es ni objeto-cósmico ni objeto-ideal. El choque con las verdades matemáticas no demostrables ni refutables en un sistema formal es la conmoción de la vía de la logificación de la matemática. Zubiri va a alumbrar una nueva noción de inteligencia y de realidad, que la matemática no puede proporcionarse a sí misma, sino sólo sugerir y esto no de forma unívoca; siempre hay que hacer una opción entre posibilidades, de ahí el carácter limitado de cada una de ellas.

Las posibilidades que el pasado otorga a Zubiri para fundamentar la matemática según las tres escuelas de filosofía de la matemática son la vía de la intuición y la vía lógico-formal. Si las examinamos a fondo, vemos que no son dos concepciones radicalmente opuestas sino que parten de una misma concepción de la inteligencia matemática: se trata de inteligencia sensible o concipiente, según la cual hay sentidos e inteligencia, y la inteligencia concibe lo que los sentidos le proporcionan. Hay una dualidad radical tanto si damos prioridad a la intuición como si se la damos al concepto. Zubiri ensaya otra vía: inteligencia sentiente.

Hemos visto que Zubiri cuando escribe su tesis doctoral en 1921 mantiene una concepción logicista-formal de la matemática, de acuerdo con la crisis de la intuición. A partir de 1931, los resultados de Gödel y su interpretación le han de llevar a unos planteamientos filosóficos nuevos. Va a suponer la conmoción de la Filosofía logicista de la matemática y la exigencia de una filosofía sentiente de la matemática. De tal manera marca un hito en la evolución del pensamiento de Zubiri que cabe hablar de la concepción "objetivista-ideal" de la matemática anterior a dicho teorema y la concepción ‘realista’ posterior al mismo.

La matemática, a la luz del descubrimiento de Gödel, resulta inviable como una secuencia de proposiciones verdaderas, puesto que hay algunas que no son "deducibles" del sistema de postulados y definiciones. La vía de formalización y logificación resulta una vía muerta. No es suficiente la vía lógica para acercarnos a las verdades matemáticas porque verdad no es demostrabilidad. Este es el nuevo reto de la filosofía zubiriana: fundamentar la nueva matemática. Para esta tarea no es adecuada ni la vía intuitiva ni la vía formal y lógica. ¿Qué nos queda? Si la crisis de la intuición nos condujo a la formalización y logificación de la matemática, ¿a dónde nos conducirá la conmoción de la formalización y la logificación de la matemática?

Gödel muestra en 1932, también en Sobre la teoría de números y la aritmética intuicionista[71] que la matemática clásica es traducible a la matemática intuicionista, de este modo si ésta es consistente aquélla también lo es, según lo cual no resulta más arriesgada la matemática clásica que la intuicionista. Para Zubiri ni la inteligencia lógica ni la inteligencia intuitiva son adecuadas para la fundamentación de la matemática.

Esta situación intelectual de la fundamentación de la matemática a partir de Gödel le deja a Zubiri debatiéndose con la noción misma de inteligencia. Hacemos hincapié en esta idea porque, como Zubiri hace notar, no todas las crisis representan la misma gravedad. El choque es ahora más profundo incluso que el descubrimiento de las geometrías no-euclídeas. Éste alejó a la matemática de las ciencias empíricas asimilándola a la lógica; pero mientras se mantuviera la demarcación logicista entre ciencias empíricas y ciencias formales, no había unificación de la noción de inteligencia y de la estructura del saber. El Teorema de Gödel cuestiona esta demarcación en términos "concipientes", y ello nos lleva a un planteamiento radical de qué es inteligencia.

Por todo lo dicho, creemos que puede confirmarse nuestra hipótesis: los problemas filosóficos de la intelección sentiente y de la ‘formalidad’ de la realidad se forjan, al menos en parte, ante la necesidad de fundamentar la matemática y de interpretar los resultados del teorema de Gödel. Este horizonte es determinante para "engendrar" su primera concepción de estos problemas concretos; los desarrollos ulteriores deben, en muchos aspectos, más a las sugerencias de la biología, de la física y de otras ciencias.

En concordancia con Gödel, Zubiri elabora su filosofía de la realidad, entendiendo la realidad de un modo que viene determinado, sin duda, por sus resultados matemáticos. Es la etapa metafísica. Dejamos para más adelante el realismo de la matemática, basta decir ahora que rechaza la reducción de la matemática a la lógica. La influencia de Gödel en este giro zubiriano del objetivismo al realismo matemático se justifica también por el análisis comparado de los datos cronológicos respectivos.

 

2.2.3 Revolución gödeliana de la filosofía de Zubiri.

La insuficiencia de la lógica para aprehender la realidad matemática es resultado fundamental del teorema de Gödel, que, además de una nueva filosofía matemática, sugiere una nueva valoración del conocimiento y de la intelección en general. La logificación de la matemática y la idealidad-objetividad de su objeto han sido los dos errores de la tradición formalista y logicista de la matemática (y del primer Zubiri), y el choque con los resultados de Gödel nos llevan a "inteligización" de la lógica matemática y a la reificación de su objeto (filosofía del segundo Zubiri).

Zubiri interpreta toda la tradición filosófica europea haciendo uso de la misma clave que ha experimentado en el campo de la matemática: la logificación de la intelección matemática (la lógica funda la matemática) y la entificación de la realidad matemática (el objeto de la matemática es un ser ideal) se han estrellado, dejando al matemático y al filósofo cuestionándose el problema mismo de la inteligencia. Generalizando, nos dice Zubiri que la vía emprendida desde los griegos es la logificación de la intelección y respectivamente la entificación de la realidad. La revolución matemática nos conduce, en gran parte, a la revolución filosófica. La filosofía de Zubiri supone una inversión en el orden de la fundamentación de la tradición: el logos no funda la inteligencia, ni el ser funda la realidad sino, por el contrario, es la inteligencia quien funda el logos y la realidad quien funda el ser. Es lo que denominamos la revolución zubiriana, que es, en gran medida, la extensión filosófica de la revolución gödeliana y tiene justo el signo inverso a la que se opera en Kant bajo la denominación de "revolución copernicana". El principio último del conocimiento es la realidad. Como veremos, se trata de un realismo trascendental.

"No se puede entificar la realidad, sino que por el contrario hay que reificar el ser... No se puede logificar la intelección, sino justamente al revés: hay que inteligizar el logos." [72]

Esta es la idea central de todo el pensamiento de Zubiri y vemos el sorprendente isomorfismo entre la intelección matemática y la intelección en general. Nuestra hipótesis de trabajo es que Zubiri se dirige a la matemática contemporánea para que le sugiera una visión más profunda de la inteligencia. Y este es el gran problema de la filosofía,

"El problema de la filosofía no es sino el problema mismo de la inteligencia"[73]

Como ya hemos dicho, la nueva concepción de inteligencia exigida, entre otras cosas, por el Teorema de Gödel, la expondremos en el capítulo segundo, y la nueva filosofía de la matemática que ésta, a su vez, contiene en los capítulos tercero, cuarto y quinto. Aquí nos ha interesado señalar que la nueva interpretación de la matemática conduce a Zubiri a una nueva filosofía. Así pues, la matemática gödeliana es un presupuesto ineludible de la Filosofía de la realidad y de la "noología" de Zubiri.

 

3. CONCEPTO DE FUNCION: NUEVO HORIZONTE MATEMATICO-FILOSOFICO.

 

El concepto de función es "clave de bóveda" de toda la matemática actual y es posiblemente el concepto matemático de mayor alcance filosófico: abre un nuevo horizonte matemático y filosófico, configurador de una nueva visión de la ciencia y de la realidad. Para ver hasta qué punto es esto así, analizaremos a continuación:

1. ¿Qué ha significado el concepto de función en Matemática?

2. ¿Qué repercusión tiene en la filosofía? Del panorama filosófico del s. XX, para nuestro propósito, nos basta examinar esta cuestión en Russell. Y nos centraremos en la filosofía de Zubiri. No es casual que en estos dos filósofos tenga tanta importancia: Russell es un gran lógico y matemático, y Zubiri siempre se interesó vivamente por la matemática y, según hemos señalado, la considera de gran interés filosófico. A pesar de la gran divergencia entre la filosofía "logicista" de la matemática de Russell y la filosofía "constructivista-sentiente" de Zubiri, es posible que en este punto el primero haya influido en el segundo. Ambos defienden dos tesis, a nuestro modo de ver, de una importancia capital:

I. La causalidad no es el objeto adecuado de la ciencia, ni de la filosofía; debe ser reemplazada por la noción de función.

II. La descripción funcional de la realidad supera y completa la descripción predicativa, y, dado que ésta va unida a la visión sustancialista de la realidad, este giro implica abandonar la noción de sustancia asociada a la expresión[74] "S es P". Veamos.

 

3.1 Concepto de función en Matemática.

 

Este concepto se ha ido configurando históricamente de un modo lento y laborioso[75]. Como tal se gesta entre los siglos XVI y XIX. Los críticos, en general, consideran a Descartes el primero en formular la idea real de funcionalidad de un modo claro. Es en el siglo XIX, con las contribuciones de Fourier, Dirichlet, Cauchy y Riemann, cuando adquiere todo su alcance. La teoría de conjuntos proporciona el lenguaje más adecuado para su formulación. Tanta importancia tiene en nuestro siglo esta noción matemática que, por ejemplo, Maurice Loi dice que supone el inicio de una nueva era, más aún que "ha cambiado el espíritu de las matemáticas". En sus palabras:

"el concepto de función señala el comienzo de una nueva era de la cual constituye el nudo esencial. Si insisto sobre esta noción fundamental no es sólo porque haya abierto nuevas puertas al pensamiento, sino también y sobre todo porque ha cambiado el espíritu de las matemáticas..." [76]

Según este autor, esta noción no sólo ha posibilitado el perfeccionamiento de las matemáticas, sino que ha significado un nuevo rumbo, lo que Zubiri denominaría el descubrimiento de una fecunda dirección en la marcha intelectiva hacia la realidad matemática. Es esencial en el cálculo de variaciones, en la topología, en las ecuaciones diferenciales e integrales, en el cálculo funcional, en la teoría del potencial, etc. En la teoría de conjuntos aparece con sinónimos como: aplicación, homomorfismo, transformación, correspondencia, interpretación, operador, etc. Maurice Loi pone de relieve[77] la conciencia general que existe entre los matemáticos sobre la importancia capital del concepto de función en toda la matemática. Así Birkhoff y MacLane, en su tratado de álgebra, afirman: "Todo es función"; y Roger Godement, en su Cours d´algebre, dice: "En matemáticas, no es posible hacer nada sin las nociones de conjunto y de función; con ellas, todo puede hacerse."

 

3.2 Implicación filosófica del concepto de función según Bertrand Russell.

 

B. Russell[78] manifestaba en 1912 que la noción de causalidad tal y como suele exponerse en filosofía es falsa y ajena a la Ciencia, de ahí la conveniencia de expulsar del vocabulario filosófico esta "reliquia de una edad desaparecida". Constata el hecho de que la Física ha dejado de buscar las causas porque no existen. Las leyes científicas no afirman que un acontecimiento, A, es causa de otro, B, que siempre sigue al primero. Por el contrario, expresan relaciones funcionales entre ciertos acontecimientos en determinados tiempos. La relación funcional no es a priori. Russell pone el ejemplo de la ley de gravitación para mostrar que no es una relación causal sino funcional, no hay en ella nada que sea la "causa" y nada que sea el "efecto".

"La ley de gravitación ilustrará lo que sucede en una ciencia adelantada cualquiera. En los movimientos de los cuerpos mutuamente gravitatorios, no hay nada que pueda llamarse causa y nada que pueda llamarse efecto; es simplemente una fórmula. Pueden hallarse ciertas ecuaciones diferenciales, que se mantienen en cada instante para cada partícula del sistema, y que, dadas la configuración y las velocidades en un instante, o la configuración en dos instantes, permiten calcular teóricamente la configuración en cualquier otro momento anterior o posterior. Es decir, la configuración en un instante cualquiera es una función de ese instante y la configuración en dos instantes dados. Esta explicación se mantiene por toda la Física, y no solo en el caso especial de la gravitación. Pero no hay nada que pueda llamarse propiamente "causa", ni nada que pueda llamarse propiamente "efecto" en un sistema semejante."[79]

El objeto de la Física no es, pues, hallar causas sino funciones, o leyes de variación. ¿Por qué entonces se sigue manteniendo la noción de "causa" en filosofía? Russell— acentuando la distancia que comúnmente existe entre Matemática y Filosofía—contesta que es debido al desconocimiento que los filósofos tienen de la noción de función. Su familiaridad con este campo le hace tomar conciencia de las ventajas de esta noción frente a todas las dificultades y objeciones empiristas que siempre ha rodeado a la noción de causalidad. Russell considera el esquema: "si se da A entonces ocurre B", una simplificación; puede ocurrir en algún sistema prácticamente aislado, pero no es lo que se da normalmente. Habría que conocer las leyes completas del universo para saber la causa exacta de algo.

"Sin duda, la razón por la que la vieja "ley de causalidad" ha continuado durante tanto tiempo invadiendo los libros de los filósofos es simplemente porque la idea de función es poco familiar a la mayoría de ellos y, por tanto, buscan una explicación indebidamente simplificada. No existe ningún problema de repeticiones de la "misma" causa que produce el "mismo" efecto; no es en ninguna uniformidad de causas y efectos en lo que consiste la constancia de la ley científica, sino en la uniformidad de relaciones. Y aun "uniformidad de relaciones" es una frase demasiado simple; "uniformidad de ecuaciones diferenciales" es la única frase correcta. Es imposible enunciar esto exactamente en el lenguaje no matemático..."[80]

Por otra parte, Russell observa que al esquema Causa-Efecto, subyace el de Sustancia-Accidente, igualmente inadecuado a la descripción de la realidad. Éste se refleja en la estructura del juicio predicativo: Sujeto-Predicado. Pero el paradigma de función matemática pone de relieve que es insuficiente, porque en la relación funcional ¿cuál es el sujeto y cuál el predicado? En cualquier función matemática, cada uno de los términos puede ponerse en función de los demás.

Russell critica a Leibniz, y lo mismo a todos sus antecesores y sucesores, el reducir las proposiciones a la forma sujeto-predicado, lo cual genera gran parte de sus doctrinas. Esta postura, como hemos dicho, responde a la configuración de la realidad según las nociones de sustancia o Absoluto. Todos los filósofos unánimemente han aceptado esta concepción y se han distinguido meramente por su coherencia al desarrollarla. Russell, con una mente configurada por el esquema funcional de realidad, se opone enérgicamente a esta tradición filosófica con raíz en Aristóteles.

"La cuestión de si todas las proposiciones son reducibles a la forma sujeto-predicado es de fundamental importancia en toda filosofía, y de modo especial en todo sistema que acepte la noción de sustancia. Porque esta noción, como veremos, es derivativa de la noción lógica de sujeto y predicado. La opinión de que en toda proposición se encuentran un sujeto y un predicado es muy antigua y muy respetable... A pesar de ello, he de limitarme aquí a insinuar los motivos que tengo para rechazar esta opinión tradicional." [81]

La función es algo distinto a la dependencia de un sujeto y un accidente. En efecto, las funciones matemáticas muestran un paradigma de descripción de la realidad que no es el modo predicativo. Por ejemplo, si se toman dos Líneas L y M y se busca la relación entre ambas, ¿cuál es el antecedente y cuál es consecuente; cuál es el sujeto y cuál el objeto? La pregunta no tiene razón de ser. Las proposiciones matemáticas no son, pues, proposiciones predicativas. De ahí que Russell continúe diciendo:

"Los ejemplos más claros de proposiciones no reducibles a esta forma son los de proposiciones que encierran ideas matemáticas."[82]

Los juicios predicativos son juicios relacionales de dos tipos. Russell los ejemplifica con las siguientes proposiciones: 1. "Esto es rojo", y 2. "Rojo es un color". Las proposiciones, según el autor, no tienen necesariamente que tener un sujeto y un predicado. Estas afirmaciones que en 1900 formulara Russell tienen una amplia resonancia posteriormente en Zubiri, no sabemos si por su influencia o no.

 

3.3 La Función en la filosofía de Zubiri.

 

La noción de funcionalidad es eje de toda la filosofía de Zubiri; sin ella no sería posible su concepción de la realidad y del conocimiento. Dada la relevancia que este autor concede a la matemática, como ámbito de sugerencias filosóficas, seguramente la toma de esta ciencia, y la eleva a un rango filosófico de primera magnitud. La funcionalidad, nos dirá, es el objeto de la ciencia, en sustitución de la causalidad, y es la propia estructura del campo de la realidad. El concepto de función sugiere no sólo el abandono de la noción de causa sino también de la sustancia. Las nociones de Funcionalidad y Estructura sustantiva, de origen matemático, ocupan su lugar.

La importancia de la funcionalidad en el pensamiento de Zubiri es paulatina. En su tesis doctoral, el joven Zubiri hereda la distinción entre la causalidad física, objeto de las ciencias empíricas, y la función o ley de variación, objeto de la matemática.

"Y es que la fórmula matemática expresa no más que el común denominador formal de la causalidad física; expresa la ley de la variación, la función"[83]

¿Qué le llevará a cuestionarse la causalidad física como objeto de las ciencias empíricas y a buscar en la matemática (ciencia que no utiliza la noción de causa) una nueva noción que la reemplazara?, porque ningún cambio de vía de intelección de la realidad es puramente arbitrario, sino que sin querer nos vemos forzados a ello por los nuevos descubrimientos de la realidad misma.

La respuesta la hallamos en el novedoso descubrimiento que lleva a cabo Heisenberg en 1927: su célebre Principio de indeterminación. En Zubiri tiene una honda repercusión filosófica —y, junto con el teorema de incompletitud de Gödel, configurará en gran medida su pensamiento—. Este principio pone en crisis la noción de causalidad física tal y como se venía entendiendo. La interpretación que da Zubiri del mismo es ontológica y no espistemológica, se trata de una indeterminación real, y no de una indeterminación provisional debida a la deficiencia de nuestros medios de conocimiento, como defendía por ejemplo Planck; si bien es un principio de ontología regional y no general. Afecta a la naturaleza tal y como la toman las ciencias.

"Si esta imposibilidad fuera accidental, es decir, si dependiera de la finura de nuestros medios de observación, tendría razón Planck. Pero si es una imposibilidad absoluta para la física, esto es, si se halla fundada en la índole misma de la medición en cuanto tal, el presunto determinismo real escaparía a la física. Dejaría de tener sentido físico. En tal caso el principio de indeterminación no sería necesariamente una renuncia a la idea de causa, sino una renuncia a la antigua idea de la causalidad física, es decir, a la idea que de la causalidad se había formado la física clásica. Este, y no otro, es el alcance preciso del principio de indeterminación."[84]

Y en Estructura dinámica de la realidad señala la transformación desde una visión determinista a otra indeterminista en la física de partículas elementales

"... ¿está dicho en alguna parte que todo cuanto acontece en la Naturaleza está obedeciendo precisamente a un determinismo? En fin, todo el mundo tiene presente lo que acontece en la Física de las partículas elementales... Me acuerdo de la impresión que me produjo, cuando a mí, personalmente, me dijo Planck que moriría con la tristeza de ver que no podía aceptar la Física que se ha hecho a base de su descubrimiento. Esto se lo he oído yo a Planck.

Pero, como quiera que sea, hoy por hoy, a pesar de todos los ensayos fallidos en contra —y todos los ensayos en contra han sido fallidos— el indeterminismo de las partículas elementales es absolutamente innegable." [85]

La indeterminación conduce a la renuncia de la causalidad física entendida de modo determinista. Pero no significa independencia. Pone de manifiesto que la relación entre fenómenos es una dependencia de un tipo distinto a causa-efecto. Es suficiente echar una mirada a la Matemática para hallar la noción que se busca: la funcionalidad. En efecto, un científico vincula fenómenos a través de una ecuación o una consideración de tipo funcional. Por ejemplo, la ley de inercia no es una ley causal, sino funcional, de hecho se pueden invertir los términos y decir tanto que la Fuerza = masa por aceleración, como que la masa = fuerza partido por aceleración. Cualquiera de los términos de la ley se puede tomar como sujeto, en el primer caso la fuerza y en el segundo la masa. La ley es reversible, mientras que la relación causa-efecto es irreversible: la causa precede al efecto. La causalidad entendida como funcionalidad no es propia ni de la causa ni del efecto; sino que es una función unitaria de ambas cosas. La causación y la determinación se aplica estrictamente sólo al mundo y al cosmos. "Causalidad es determinación de lo real en la actividad del todo."[86]

Zubiri, como Russell, toma conciencia de las dificultades que la noción de causa física tiene, y la sustituye por la de funcionalidad. Mientras que la causa nunca se nos da en impresión (como decía Hume), la funcionalidad de lo real en tanto que real sí que se nos da en la impresión de realidad.

"La funcionalidad es así un momento campal dado en la impresión de realidad. Este dato está dado justo como momento formal suyo. No se trata, pues , de una inferencia o cosa similar (ya lo advertía) sino que es un dato inmediato y formalmente dado en la impresión misma de realidad."[87]

La funcionalidad no es dependencia causal. Las leyes físicas no son, por lo menos primariamente, sino leyes de funcionalidad. El objeto formal del conocimiento no es la causalidad sino la funcionalidad dada en impresión sentiente de realidad. Es una respectividad estructural.

"La ciencia no tiene como objeto causas sino ‘por qués’ funcionales. El ‘por qué’ no es, pues, forzosamente causalidad. Es formalmente funcionalidad mundanal, esto es la funcionalidad de lo real en tanto que real. A mi modo de ver, hay que reemplazar en este problema la noción de causa por la noción más amplia de funcionalidad de lo real en tanto que real."[88]

El objeto del conocimiento, para Zubiri, es el "por qué" experienciado. Conocer algo es tener intelección de por qué este algo es lo que es y como es. Este ‘por qué’ erróneamente se ha entendido como causalidad, pero no se trata de esto sino de funcionalidad. El ‘por qué’ no es un influjo originante o productor; es tan sólo el modo según el cual algo es realmente lo que es. La causalidad es meramente un modo de funcionalidad. La funcionalidad no es dependencia causal. No se trata de que sólo un término dependa de los otros, sino de la funcionalidad como estructura campal. La funcionalidad concierne de modo primario a la formalidad y no al contenido de realidad. Se trata de la funcionalidad de lo real en cuanto real.

En matemática no tiene sentido la palabra origen. Se trata de estructuras funcionales. En un sentido más amplio, Zubiri dice que la determinación de unas notas en función de otras no es originación sino determinación de la "posición". La posición se establece respecto al sistema total de notas, a diferencia de la causa u origen que se establece sólo respecto a una o varias notas. Recurriendo al lenguaje matemático, dice que la determinación originante es una "función de puntos", mientras que la determinación funcional es una "función de conjuntos".

"La determinación originante es una especie de correspondencia ‘punto a punto’; cada sustancia determina ‘su’ nota correspondiente; a lo sumo la determinan ‘varias’. La determinación funcional, en cambio, pone en juego, para cada nota constitucional, la totalidad del sistema constitutivo. Empleando la terminología usual entre matemáticos, diríamos que la determinación originante es una ‘función de puntos’, de una o varias variables, mientras que lo que he llamado determinación meramente funcional es más bien una ‘función de conjuntos’."[89]

Zubiri clarifica nociones tan metafísicas como la de esencia, y explica la relación de ésta con sus notas inesenciales, a través del lenguaje de la teoría de funciones matemáticas. La esencia, nos dice, es "determinante funcional necesitante y posibilitante" de las notas que concretan la realidad. Las notas necesitadas vienen determinadas por la esencia en cuanto función "uniforme" y las posibilitadas por la esencia en cuanto función "multiforme" . En los dos casos es una función necesaria.

"Si se quiere volver a emplear el lenguaje matemático, diría que la determinación funcional necesitante es una función ‘uniforme’, mientras que la posibilitante es función ‘multiforme’. Pero en los dos casos es una función necesaria...La esencia, pues, es fundante de las notas inesenciales como determinante funcional necesario de ellas"[90]

Por otra parte, Zubiri, en concordancia también con Russell, considera que las descripciones predicativas responden a una visión de la realidad sustancialista. El sujeto de la predicación es el sujeto de in-hesión de unos accidentes. ¿Es esto así? No. Zubiri piensa que tomar el sujeto de una proposición como el sujeto de in-hesión de unos accidentes es "un espejismo" que produce precisamente la descripción de tipo predicativo. En sus palabras:

"Evidentemente al expresarlas en el lenguaje, hago siempre de ellas sujetos de atribución. Pero creer que son forzosamente nada más que sustancias, esto es, sujetos reales de inhesión física de accidentes, es un espejismo producido por la descripción predicativa. El logos predicativo tiene siempre, en efecto, un sujeto y un predicado perfectamente determinados en su función de tales"[91].

Por ejemplo, al decir que la masa produce una fuerza sobre otro cuerpo o padece la acción de una fuerza, tiende a "incrustarse en nuestras mentes" la idea de que la masa es un sujeto de un accidente que es la fuerza. Es un puro espejismo. Sujeto de atribución no significa sujeto de inhesión o sustancia. Una descripción no-predicativa nos permitiría ver el fenómeno como la variación de una estructura sustantiva[92] que es muy distinto a la visión de la acción o pasión de un sujeto sustancial.

El paradigma matemático de descripción de la realidad no es la proposición predicativa, donde hay un sujeto y un predicado, sino la descripción funcional, que vincula las realidades por una relación puramente funcional. Zubiri pone un ejemplo sacado de la física matemática para mostrar el paradigma descriptivo de estructura funcional:

f = m dv/dt (fuerza es masa multiplicada por aceleración)

¿Cuál de los términos es sujeto y cuál es predicado? Cualquiera de estos términos se puede poner en función de los otros. Ninguno es sujeto, ni tiene una prerrogativa sobre los otros. Se trata de una descripción no-predicativa.

"In re es una mera estructura funcional, es decir, la expresión de un vínculo de sustantividad y no de sustancialidad. Esto mismo acontece con todas las leyes físicas." [93]

La importancia de la matemática como fuente genética de una visión funcional de la realidad es clara, no obstante, Zubiri señala que no significa que pueda describir el todo de la realidad, ni que sea paradigma de toda otra descripción.

"No quiero decir con esto ni que la matemática sea capaz de describir el todo de la realidad de los cuerpos y de sus leyes, ni que la descripción matemática de la realidad sea la única posible descripción funcional, y menos aún que sea el paradigma de toda otra descripción. Lo único que he pretendido es poner un ejemplo (dentro de los estrechísimos límites de la realidad de los cuerpos, y en ellos quizá tan sólo en un aspecto suyo) de una descripción no-predicativa de la realidad, sino meramente funcional, estructural"[94]

La relación de causa y efecto, de sujeto y predicado, y de sustancia y accidente están vinculadas, y una conlleva las otras, de ahí que la sustitución de la causalidad por la funcionalidad, implica la visión de la realidad como estructura funcional y su descripción funcional. Esta es la sugerencia matemática: la realidad es estructura funcional. Los objetos matemáticos se conceptúan no en función de sustancia, sino de "constructividad" de notas (cada nota es nota-de las demás, no de un sujeto). Las notas de la cosa no son accidentes inherentes a un sujeto sustancial, ni son predicados de un objeto, sino que todas las notas pertenecen a lo real "de suyo" y son "co-herentes" en un sistema constructo sustantivo. Cada cosa real, externamente es en función de las demás cosas, e internamente sus notas son lo que son en función de las demás notas. La realidad es funcional porque es constitutivamente respectiva en cuanto realidad. Respectividad es este momento intrínseco y formal de la constitución de una cosa real, según el cual esta cosa es "función" de las demás. Todo lo real por su respectividad es real en función de otras cosas reales.

Zubiri sustituye la concepción predicativa de la realidad por la concepción funcional de la realidad. Esto supone nada menos que abandonar la noción clásica de sustancia y reemplazarla por la noción de sustantividad, y la relación de Sujeto- Predicado ( en la concepción sustancial) por la relación de estructura funcional (en la concepción de sustantividad). Sustantividad no es subjetualidad, sino que su razón formal es la "suficiencia en el orden de la constitución".

La noción de función matemática es, pues, fuente de sugerencia del cambio paradigmático, que esquematizamos a continuación:

 

1. causalidad	"versus"	1. funcionalidad
2. descripción predicativa	"versus"	2. descripción funcional
3. sujeto sustancial	"versus"	3. sustantividad estructural

 

Por último, hay que añadir que Zubiri aplica también la noción de función al objeto filosófico, es la función transcendental de las talidades, esto es, el modo de realidad determinado por el contenido específico de lo real en cuanto tal o talidad. (lo explicaremos más adelante).

"La función transcendental es, pues, la función por la que una talidad constituye las propiedades transcendentales de la realidad."[95]

El objeto de la filosofía, el orden transcendental o de la realidad en cuanto realidad, no es una noción abstracta, a priori, sino que es función de cada una de las talidades. Una función transcendental (modo de realidad concreto) no tiene, como en el caso de la función matemática, un valor determinado sino que depende del valor que tome la variable independiente (talidad). No es posible un conocimiento de la realidad en cuanto realidad independiente del conocimiento de las talidades; es un proceso que hay que ir descubriendo.

"El orden transcendental es justamente la función transcendental que tienen las talidades, y que el hombre tiene epagógicamente que ir descubriendo largamente a lo largo de su investigación."[96]

Algunos ejemplos de función transcendental de talidades concretas extraídos de distintos lugares de la obra de Zubiri nos dan las siguientes correlaciones:

 

Talidad	Talidad en función transcendental
Fluencia	In-quietud
Génesis talitativa	Génesis del "de suyo"
Interiorización de la vida	Dinamismo de la Mismidad
Personalización de la vida	Dinamismo de la Suidad
Medio	Mundo
Realidad campal	Realidad mundanal
Sociedad	Realidad en común
Causa	Ley

 

Todo lo dicho pone de manifiesto que la matemática es una fuente genética de la filosofía de Zubiri muy importante, aunque no sea la única. Así el concepto de función o estructura funcional tiene un origen matemático, sin embargo, el aspecto dinámico de las estructuras (son estructuras de actividad), ha podido extraerlo de la biología fundamentalmente; y, más concretamente, su carácter diferencial y sistemático, de los procesos de la biología molecular.

 

NOTAS

[1] T.F.J, p. 23^

[2] T.F.J, p. 36. El subrayado es nuestro.^

[3] NHD p. 192^

[4] Ibid.^

[5] Ibid. p. 352^

[6] Zubiri, en su primera etapa, está fuertemente influido por Husserl. A efectos de nuestra tesis, destacamos el hecho de que Husserl sea, además de filósofo, matemático. La interpretación no psicologista sino lógica de la matemática, el considerar sus objetos no como datos de conciencia sino como objetos ideales, conducirá a Husserl a una filosofía de la Objetividad. Y Esta es la postura también del joven Zubiri en su tesis doctoral: Ensayo de una teoría fenomenológica del juicio.^

[7] T.F.J. p. 26^

[8] T.F.J. p. 23^

[9] Incluido en la 9ª ed. de Naturaleza, Historia ,Dios en Alianza Editorial, pp. 8-17^

[10] NHD, p. 13-4. (Prológo de Zubiri)^

[11] Ibid, p. 14 (prólogo de 190)^

[12] NHD, p.15 (prólogo de 1980)^

[13] NHD p.16-17 (prólogo de 1980)^

[14] Husserl, Investigaciones lógicas, prólogo, p. 21. ^

[15] Husserl abandona la interpretación psicologista de la matemática, defendida en su obra Filosofía de la Aritmética. Dice, en el prólogo de Investigación lógicas: "Esta fundamentación psicológica no logró satisfacernos nunca en ciertas cuestiones." Zubiri constata de Husserl que por temperamento y por la corriente natural de su época, el paradigma que toma del conocimiento es la ciencia fisicomatemática. Su idea misma de la filosofía como ciencia estricta y rigurosa está un poco plasmada al modo de la matemática. Pero influido por Brentano, trata de dar una interpretación psicológica de los grandes conceptos matemáticos.

"Al igual que Bergson se había estrellado al aplicar al tiempo las ideas de Comte, así también Husserl se estrelló al querer dar una interpretación psicológica de los conceptos aritméticos. Con lo cual se le hizo cuestión su idea misma de filosofía" (C.L.F. 218)^

[16] Ibid, p. 22-23.^

[17] Para designar que un cálculo lógico es completo se han forjado en español los términos "completitud" y "completud" -son traducciones de los vocablos Vollständigkeit (alemán) y Completeness (inglés)-. Preferimos el término completitud e incompletitud, en conformidad con Ferrater Mora, quien dice: "siguiendo el modelo 'pleno-plenitud', optamos, como nombre, por 'completitud' -y por 'incompletitud'" (Diccionario de Filosofía).^

[18] NHD. p. 74 ^

[19] Recordemos que en esta ciudad vivía Gödel, que este año impartió una conferencia sobre los problemas matemáticos, en la Universidad de Princeton. ^

[20] SH, p. 649^

[21] SH, p. 649^

[22] SH, pp. 648-9^

[23] SE, pp. 70-3^

[24] SE, p. 66^

[25] SE, p.70-71^

[26] Ibid, p.71^

[27] Ibid, p.71^

[28] Ibid, p.31^

[29] Ibid, 31^

[30] Cfr. T.F.J, pp.26-28^

[31] Riemann aporta dos ideas fundamentales a la geometría: la idea de multiplicidad y la idea de curvatura de los espacios. El espacio es una concreción de las multiplicidades de elementos cualesquiera. A cada multiplicidad se le asigna una constante, un número, que denomina curvatura del espacio. Este número caracteriza las distintas geometrías posibles.^

[32] Con Hilbert la matemática resulta ser un conjunto de sistemas formales.^

[33] La Escuela Pitagórica consideraba que los números no estaban separados de las cosas, sino que éstas estaban compuestas de números. Según esta concepción, la matemática desvela la constitución de la naturaleza.^

[34] TFJ, p.23^

[35] TFJ, p. 26^

[36] Kant había considerado un juicio sintético a priori la afirmación de que el espacio es tridimensional. Pero esto no puede considerarse intuitivo sino que hay que definir de forma lógica qué significa dimensionalidad de una figura geométrica y demostrar cuál sea la dimensión de las geometrías.^

[37] TFJ, p. 31^

[38] Zubiri recoge la experiencia intelectiva del Husserl de Investigaciones lógicas, de quien nos dice:

"Husserl parte del psicologismo de Brentano e intenta escribir una Filosofía de la Aritmética, pero las dificultades con que tropieza al querer expresar en términos psicológicos la Matemática contemporánea le rinden, y estudiando de nuevo a Bolzano, llega en sus Logische untersuchungen a un objetivismo puro completado por la idea de una fenomenología." TFJ, p.37)^

[39] Ibid, p. 36^

[40] TFJ, p.178^

[41] TFJ, p.168^

[42] TFJ, p.168^

[43] TFJ, p.180^

[44] T.F.J, p.31, cfr. p.104^

[45] T.F.J, p. 79^

[46] El precursor del logicismo es Leibniz (1646-1716). El primer desarrollo extenso lo realizó G. Frege (1848- 1925), más aún J. Peano (1858-1932) y, finalmente, A. N. Whithead (1861- 1947) y B. Russell (1872- 1970)^

[47] T.F.J, p. 36^

[48] Cf. T.FJ, p. 36^

[49] Este texto es clave en la orientación de nuestra tesis. El hecho de que sea de su tesis doctoral asegura, por lo menos, su validez para sus primeras sugerencias y esbozos.^

[50] Gödel, de descendientes germano-austríacos, nace en 1906 en Brünn (Brno), Moravia. En 1929 renuncia a la ciudadanía checa y adquiere la austríaca, posteriormente, en 1949, la americana. Desde 1940 hasta su fallecimiento en 1978, vivió en Princeton, New Jersey, donde trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados. ^

[51] Mención hecha con motivo de su investidura como doctor honorario en ciencias por la Universidad de Harvard.^

[52] Nagel y Newman, El teorema de Gödel, p. 21 ^

[53] Este artículo es un resumen-anticipo de sus descubrimientos de la incompletitud de los sistemas formales que comprendan la aritmética y la imposibilidad de probar en ellos su propia consistencia. Apareció en el Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 67 (1930), p. 214-215. En él Gödel ya anuncia que las pruebas de estos teoremas aparecerán en Monastshefte für Mathematik und Physik.

Citas de Obras completas de K. Gödel, pp. 41-42.^

[54] "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme", enviado a la revista científica alemana: Monatshefte für Mathematik und Physik, que lo publicó en 1931 en su número 38, pp., 173-198.^

[55] Obras Completas, pp. 53-4^

[56] Obras completas, p.85^

[57] Wang, H.: Reflexiones sobre K. Gödel, p. 242^

[58] Wang, o.c. p. 234^

[59] W. y M. Kneale, El desarrollo de la lógica. p. 673.^

[60] Véase J. Ladrière: Las limitaciones internas de los formalismos, Nagel y Newman: El Teorema de Gödel.^

[61] M.Kline, El pensamiento matemático III. p. 1596^

[62] Hao Wang, Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 375^

[63] I.R p. 253, Cf I.L p.327 y S.H p.649^

[64] S.E 66^

[65] N.H.D p.352. Zubiri se refiere en este texto a la física, pero es igualmente aplicable a la matemática gödeliana.^

[66] Gödel, Suplement to the second edition (Suplemento a la segunda edición), con el Postscrit (posdata) incluido, en las págs. 269-273 de la antología de P. Benacerraf y H. Putnam: Philosophy of Mathematics. Selected Reading, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964. Suplemento a la segunda edición de "¿Qué es el problema del continuo de Cantor?" (1963). Obras Completas, pág.427.^

[67] Apareció en la revista Erkenntnis, n, 2, 1931-2. En Obras completas, pp. 90-93^

[68] Ibid, p. 91^

[69] El anuncio de su descubrimiento, en 1939 en los Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 24, pp. 556-7. Da la prueba en 1939, y al año siguiente da una segunda prueba más desarrollada^

[70] N.H.D, p.385^

[71] Ponencia presentada el 28 de junio de 1932 ante el coloquio matemático de Viena. Publicada en Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, núm. 4 (1931-1932, publicado en 1933, pp. 34-38. ^

[72] IL, p. 50^

[73] NHD, p.143^

[74] Ya en 1879, Frege en su obra Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, pretende desplazar la estructura gramatical: "Sujeto-Predicado" por distintas formas proposicionales sobre la base de su teoría de la función. (véase, Kneale, El desarrollo de la lógica, p. 403)^

[75] Véase C. Cañón: "Sobre la génesis del concepto de función" en La Matemática: creación y descubrimiento. pp. 167-182.^

[76] M. Loi, "Rigor y ambigüedad", en Pensar la matemática (pp.275-291) pp. 284-5.^

[77] Ibid, pp. 286-7^

[78] Véase Russell, ensayo "Acerca de la noción de causa", fue una memoria presidencial dirigida a la Aristotelian Society, en 1912, y se publicó en sus Proceedings ("Actas") de 1912-3. Recogido en "Mysticism and logic and other essays".(1917) Obras completas. II ciencia y filosofía, (1897-1919), trad. de Anibal Roufe. Madrid, Aguilar, 1973. pp. 1015-1030.^

[79] Ibid, 1022^

[80] Ibid.^

[81] A Critical exposition of the philosophy of Leibniz (1900), (Exposición crítica de la filosofía de Leibniz). trad. de Carlos Benito Cardenal. Obras completas, p. 176^

[82] Ibid.^

[83] TFJ, p.31^

[84] NHD, p.333^

[85] EDR, pp.80-1^

[86] EDR, p. 91^

[87] IR, p.232^

[88] I.R. p.237-8^

[89] S.E, p.266^

[90] SE, p. 274 ^

[91] SE, p.161^

[92] Sustantividad es la palabra que sustituye la de sustancia en el pensamiento de Zubiri, significa la suficiencia de un sistema de notas que se codeterminan mutuamente, con carácter clausurado (si no sería indefinido) y cíclico (si no la primera nota no estaría determinada por ninguna otra). La suficiencia de la sustantividad es en el orden de la constitución. Zubiri rechaza la noción de sustancia y la concepción de la realidad como subjetualidad. Por debajo de todas las notas, ¿dónde está el sujeto? Dirá Zubiri que en ninguna parte. Las cosas no son, pues, sustancias a las cuales son inherentes unos accidentes y unas propiedades, sino que son sistemas sustantivos de notas y de propiedades.^

[93] S.E, p.163^

[94] Ibid. ^

[95] IS, p.124^

[96] EDR, p. 244^